均匀n次B样条曲线的基函数(均匀B样条n次基)
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均匀n次B样条曲线的基函数是数值分析与计算机辅助几何设计领域的核心工具，其通过递推定义构建了分段多项式函数族。这类基函数具备严格的数学性质，包括局部支撑性、归一性、非负性和光滑性，使其在曲线建模中既能保证全局连续性，又能实现局部控制。从数学本质来看，基函数由节点向量决定，而均匀分布的节点使得基函数呈现对称结构，各阶基函数的支撑区间宽度与次数n直接相关。这种特性不仅简化了计算复杂度，还为参数化曲线提供了稳定的数值基础。在工程应用中，基函数的线性组合能力使其能够精确表示复杂几何形状，同时递推结构降低了存储开销，成为工业标准曲线表示方法的重要理论支撑。
1. 数学定义与递推公式
均匀n次B样条基函数采用Cox-de Boor递推公式定义：| 基函数阶数 | 数学表达式 | 关键特征 |
|---|---|---|
| 0阶（Ni,0） | Ni,0(x) = 1 当 ti ≤ x < ti+1 Ni,0(x) = 0 其他情况 | 分段常数函数 |
| 1阶（Ni,1） | Ni,1 = (x - ti)/(ti+1 - ti) Ni,0 + (ti+2 - x)/(ti+2 - ti+1) Ni+1,0 | 分段线性函数 |
| n阶（Ni,n） | Ni,n = [(x - ti)/(ti+1 - ti)] Ni,n-1 + [(ti+n+1 - x)/(ti+n+1 - ti+n)] Ni+1,n-1 | 分段n次多项式 |
2. 局部支撑性分析
基函数Ni,n(x)的非零区间为[ti, ti+n+1)，支撑宽度为(n+1)Δt。此特性意味着：
- 修改单个控制点仅影响n+1个基函数
- 曲线某段形状仅依赖对应区间内的控制点
- 计算复杂度与数据规模呈线性关系
对比贝塞尔曲线的全局支撑特性，B样条的局部性优势在复杂模型编辑中尤为突出。例如，当n=3时，每个基函数影响4个节点区间，而相同次数的贝塞尔基函数支撑范围覆盖整个参数域。
3. 归一性与非负性验证
基函数满足：
- 积分归一性：∫titi+n+1 Ni,n(x)dx = Δt
- 非负性：Ni,n(x) ≥ 0 ∀x ∈ [ti, ti+n+1)
以二次B样条为例，在节点区间[ti, ti+1)内，三个基函数Ni-1,2、Ni,2、Ni+1,2的线性组合恒等于1，形成概率分布特性，这对曲线凸包性质的保持至关重要。
4. 光滑性与连续阶数
| B样条次数n | C连续性阶数 | 导数连续性 |
|---|---|---|
| 0次 | C−1 | 不连续 |
| 1次 | C0 | 连续但不可导 |
| 2次 | C1 | 一阶导数连续 |
| 3次 | C2 | 二阶导数连续 |
| n次 | Cn−1 | n−1阶导数连续 |
均匀节点分布保证了跨节点的平滑过渡，各阶导数在节点处左右极限相等。例如，三次B样条在节点处二阶导数连续，这使得曲线在视觉上呈现G2连续性，满足大多数工程造型需求。
5. 紧凑支撑区间对比
| 基函数类型 | 支撑区间宽度 | 影响节点数 | 计算复杂度 |
|---|---|---|---|
| 均匀n次B样条 | (n+1)Δt | n+2个节点 | O(n) per basis |
| 非均匀B样条 | ≥(n+1)Δt | ≥n+2个节点 | O(2n) per basis |
| 贝塞尔基函数 | 整个定义域 | 全部节点 | O(2n) |
均匀节点分布使基函数获得最小可能的支撑区间，这与非均匀情况形成鲜明对比。当节点非均匀时，基函数可能因节点聚集而扩展支撑范围，导致计算量增加和局部性减弱。
6. 线性无关性证明
对于给定节点向量，基函数组Ni,n(x)在定义域内构成线性无关集合。证明要点包括：
- 递推结构保证不同基函数的非零区间重叠有限
- 归一性条件形成齐次方程组唯一解
- Gram行列式非奇异（均匀节点时表现为带状矩阵）
以三次B样条为例，任意四个连续基函数在重叠区间[ti+1, ti+2)内的组合矩阵条件数小于1e4，证明其数值稳定性。这种线性无关性为曲线控制点的唯一确定提供了理论保障。
递推公式蕴含的树形结构带来多重优势：
| 特性维度 | 低次基函数作用 | 高次基函数表现 |
|---|---|---|
| 计算效率 | 直接解析表达 | 递归调用低次结果 |
