高一函数经典例题(高一函数典型题型)

高一函数经典例题是初高中数学衔接的重要载体，其教学价值体现在多个维度。这类例题通常以基础函数（一次函数、二次函数、反比例函数）为核心，逐步渗透函数概念、图像性质、代数运算等核心知识，同时融入分类讨论、数形结合、待定系数等数学思想方法。从教学实践看，经典例题往往具备以下特征：一是知识点覆盖全面，既包含函数三要素（定义域、对应关系、值域）的基础性考查，又涉及函数图像与性质的综合运用；二是思维层次分明，通过递进式设问引导学生从单一知识点向综合应用过渡；三是注重数学建模能力培养，例如通过实际问题抽象函数关系。例如"已知函数f(x)=x²+bx+c满足f(1)=f(3)=0，求b、c值"这类例题，既考查二次函数对称性，又需要联立方程组求解，同时隐含韦达定理的应用。

在教学实践中，教师常通过多平台（教材、教辅、数字化资源）整合经典例题，形成"基础演练-变式拓展-综合应用"的教学链条。例如将教材中的基础求解析式例题与在线教育平台的动态图像演示相结合，帮助学生直观理解参数变化对函数图像的影响。值得注意的是，不同平台例题设计存在差异：教材例题侧重知识规范性，教辅资料强化解题技巧，而数字化资源则突出交互性。这种差异要求教师在备课时需进行多版本例题对比，提炼共性考点，同时针对不同平台特点设计差异化教学策略。

一、函数定义域与对应关系

例题1：已知函数f(x)=√(x-1)/(x-2)，求定义域。

考点分析：考查分式、根式定义域的交集运算，需注意分母不为零且被开方数非负。典型错误常出现在忽略分母限制或混淆"且""或"逻辑关系。

函数类型	限制条件	解集运算	最终定义域
分式函数	分母≠0	x≠2	x≥1且x≠2
根式函数	被开方数≥0	x≥1

变式拓展：若将原式改为f(x)=√[(x-1)(x-2)]，定义域变为x≤1或x≥2，体现乘积型根式的特殊性。

二、函数解析式求解

例题2：已知f(x+1)=2x+3，求f(x)。

解题关键：通过变量替换法设t=x+1，将复合函数转化为基本函数形式。典型错误包括替换不彻底或混淆新旧变量关系。

求解方法	操作步骤	适用场景
配凑法	将表达式转化为关于(x+1)的式子	线性表达式
换元法	设t=x+1后求解f(t)	任意函数形式
方程组法	取特殊值建立方程	抽象函数问题

高阶变式：若改为f(√x+1)=x，需先设t=√x+1，解得x=(t-1)²，再回代得f(t)=(t-1)²-1，考查二次函数构造能力。

三、函数图像性质

例题3：绘制y=|x²-2x-3|的图像。

分析路径：先绘制基础抛物线y=x²-2x-3，再通过图像折叠处理绝对值符号。关键点包括找抛物线与x轴交点（x=-1和x=3），确定保留区域（y≥0部分），以及翻转区域（y<0部分）。

原函数特征	绝对值处理	图像变化
开口方向	保留y≥0部分	向上开口保持不变
顶点坐标	翻转y<0部分	产生新"V"形转折点
对称轴	保留与x轴交点	保持x=1对称性

常见误区：忽视原函数与坐标轴的交点定位，导致图像翻转位置错误。可通过描点法验证关键点坐标。

四、函数值域求解

例题4：求f(x)=(2x-1)/(x+1)的值域。

方法对比：

1. 分离常数法：f(x)=2-3/(x+1)，利用反比例函数值域特性
2. 判别式法：设y=(2x-1)/(x+1)，整理为x(y-2)=-y-1，由x存在实数解得Δ≥0
3. 单调性分析：分解函数为基本函数组合，判断各段单调性

求解方法	适用函数类型	关键步骤
分离常数法	分式线性函数	分子拆分为分母倍数+余数
判别式法	可化为二次方程的分式函数	构建关于x的方程并求Δ
图像分析法	基本函数组合	分析渐近线与趋势

易错提示：使用判别式法时易漏二次项系数为零的情况，需单独检验x=-1时的函数值。

五、抽象函数问题

例题5：已知f(xy)=f(x)+f(y)，且x>0时f(x)>0，证明f(x)在(0,+∞)单调递增。

解题策略：

1. 赋值法：令x=y=1得f(1)=0
2. 设x₁
3. 利用x>0时f(x)>0的性质推导差值符号

关键步骤	数学依据	作用
令x=y=1	函数方程特性	确定基准点
设x₂=x₁·t(t>1)	变量代换	转化不等式关系
应用f(t)>0	已知条件	建立单调性联系

思维提升：此类问题常结合函数方程与单调性证明，需熟练运用"作差比较法"与"构造法"。

六、分段函数应用

例题6：某市出租车计费规则：3公里内10元，超出部分每公里2元，写出费用f(x)的解析式并计算行驶15公里的费用。

建模要点：

1. 界定分段节点：x=3公里
2. 建立分段表达式：f(x)=10 (03)
3. 代入计算时注意区间选择

行程区间	计费公式	计算示例
0	f(x)=10	f(2.5)=10元
x>3	f(x)=2x+4	f(15)=34元

常见错误：混淆分段临界值归属，或在计算时未正确代入对应区间的表达式。

七、指数型函数方程

例题7：解方程3·2ˣ + 3ˣ⁺¹ = 24。

解题流程：

1. 统一底数：3ˣ⁺¹ = 3·3ˣ
2. 提取公因式：3ˣ(2 + 3) = 24 → 3ˣ=24/5
3. 取对数求解：x=log₃(24/5)

变形步骤	代数操作	化简目标
合并同类项	3·2ˣ + 3·3ˣ = 24	提取3ˣ公因子
分离变量	(2/3)ˣ = 4/5	转化为同底指数方程
取对数运算	x=log₃(24/5)	应用对数定义式

思维延伸：可拓展为含参数的方程，如3·2ˣ + k·3ˣ = b，训练参数讨论能力。

八、函数最值问题

例题8：求f(x)=x²-4x+3在[0,5]上的最小值。

多方法解析：

1. 配方法：f(x)=(x-2)²-1，顶点(2,-1)在区间内，故最小值为-1
2. 导数法：f’(x)=2x-4，临界点x=2，比较端点f(0)=3和f(5)=8
3. 图像法：抛物线开口向上，顶点处取得最小值

二次函数专属可导函数通用所有连续函数

解法类型	关键步骤	适用范围
配方法	转化为顶点式
导数法	求导找临界点
区间分析法	比较端点与临界点函数值

易错警示：忽视顶点是否在给定区间内，直接代入端点导致错误。需建立"求导-找点-比较"的标准流程。

通过对八大类经典例题的深度剖析可见，高一函数教学需遵循"概念理解-图像掌握-性质应用-综合实践"的渐进路径。教师在讲解时应注重：1）强化函数三要素的核心地位，通过定义域、对应关系、值域的专项训练夯实基础；2）培养数形结合思维，善用图像辅助代数运算；3）建立标准化解题流程，如求解析式必做变量检验，最值问题坚持"求导-找点-比较"三步法。同时，建议构建"基础题-变式题-综合题"的三级训练体系，例如将定义域问题从单一限制发展到多条件交集，将抽象函数从具体赋值延伸到性质证明。值得注意的是，不同平台资源应优势互补，教材例题用于规范书写，在线工具辅助动态演示，竞赛类资料则提供思维拓展素材。最终通过系统训练，使学生既能准确完成常规解题，又能应对含参讨论、多知识点融合等复杂问题，真正实现函数素养的全面提升。