数学三角函数所有公式(三角函数公式大全)

三角函数作为数学中连接几何与代数的核心工具，其公式体系不仅支撑着基础数学运算，更渗透至物理、工程、计算机科学等领域。从直角三角形中的比例关系，到单位圆上的坐标映射，三角函数通过周期性、对称性及恒等式构建了完整的数学框架。其公式网络以勾股定理为基础，结合角度变换、幂次运算及函数组合，形成了包含和差化积、积化和差、倍角半角等核心模块的知识体系。这些公式并非孤立存在，而是通过内在逻辑关联，例如诱导公式通过角度周期性简化计算，和差角公式通过向量叠加推导，倍角公式则体现函数值的递归关系。掌握这些公式需理解其几何意义与代数推导的双重路径，例如正弦定理与余弦定理在三角形中的几何解释，与复数指数形式在代数层面的统一表达。

一、基础定义与核心公式

三角函数的基础定义源于直角三角形与单位圆。设θ为任意角，其终边与单位圆交点坐标为(cosθ, sinθ)，由此衍生出六类基本函数：

函数类型	定义表达式	定义域	值域
正弦函数	sinθ = y/r = 对边/斜边	全体实数	[-1,1]
余弦函数	cosθ = x/r = 邻边/斜边	全体实数	[-1,1]
正切函数	tanθ = y/x = 对边/邻边	θ ≠ (2k+1)π/2	全体实数
余切函数	cotθ = x/y = 邻边/对边	θ ≠ kπ	全体实数
正割函数	secθ = r/x = 斜边/邻边	θ ≠ (2k+1)π/2	(-∞,-1]∪[1,+∞)
余割函数	cscθ = r/y = 斜边/对边	θ ≠ kπ	(-∞,-1]∪[1,+∞)

二、诱导公式与角度变换

诱导公式通过角度周期性实现函数值转换，核心规则为"奇变偶不变，符号看象限"。以π/2为周期基准，可推导出：

角度变换类型	正弦函数	余弦函数	正切函数
θ + π/2	cosθ	-sinθ	-cotθ
θ + π	-sinθ	-cosθ	tanθ
θ + 3π/2	-cosθ	sinθ	-cotθ
-θ	-sinθ	cosθ	-tanθ

该体系通过9组基础变换公式，将任意角度三角函数转化为锐角计算，例如sin(5π/3)=sin(π/3 - 2π)= -sin(π/3)。

三、和差角公式与向量叠加

和差角公式揭示三角函数在角度叠加时的运算规律，其几何本质为向量投影的合成：

公式类型	正弦和角	余弦和角	正切和角
和角公式	sin(a±b)=sina·cosb±cosa·sinb	cos(a±b)=cosa·cosb∓sina·sinb	tan(a±b)=(tana±tanb)/(1∓tana·tanb)
差角公式	sin(a-b)=sina·cosb - cosa·sinb	cos(a-b)=cosa·cosb + sina·sinb	tan(a-b)=(tana - tanb)/(1+tana·tanb)

该公式组可通过旋转向量坐标系证明，例如将向量OA绕原点旋转角度b后，新坐标(x',y')与原坐标(x,y)的关系即为cos(a+b)=x'/r，sin(a+b)=y'/r。

四、倍角公式与半角公式的递归关系

倍角公式通过递归调用和差角公式推导，形成函数值的幂次扩展：

公式类型	正弦倍角	余弦倍角	正切倍角
二倍角	sin2a=2sina·cosa	cos2a=cos²a - sin²a=2cos²a -1=1-2sin²a	tan2a=2tana/(1 - tan²a)
三倍角	sin3a=3sina -4sin³a	cos3a=4cos³a -3cosa	tan3a=(3tana - tan³a)/(1 -3tan²a)

半角公式则通过倍角公式逆推，例如cos(a/2)=±√[(1+cosa)/2]，符号由a/2所在象限决定。这种递归特性使三角函数可展开为多项式级数。

五、和差化积与积化和差的互逆运算

该组公式实现三角函数乘积与和差形式的相互转换，在积分运算中尤为重要：

转换方向	和差化积	积化和差
正弦项	sina + sinb = 2sin[(a+b)/2]·cos[(a-b)/2]	sinα·sinβ = [cos(α-β) - cos(α+β)]/2
余弦项	cosa + cosb = 2cos[(a+b)/2]·cos[(a-b)/2]	cosα·cosβ = [cos(α+β) + cos(α-β)]/2
混合项	sina - sinb = 2cos[(a+b)/2]·sin[(a-b)/2]	sinα·cosβ = [sin(α+β) + sin(α-β)]/2

例如计算sin75°·sin15°，可先转换为[cos60° - cos90°]/2 = (0.5 -0)/2=0.25，避免直接计算复杂乘积。

六、辅助角公式与相位平移

该公式将线性组合转化为单一三角函数形式，常用于波形分析：

表达式类型	转换公式	振幅计算	相位角计算
正弦型	a·sinx + b·cosx = R·sin(x + φ)	R=√(a²+b²)	φ=arctan(b/a)
余弦型	a·sinx + b·cosx = R·cos(x - θ)	R=√(a²+b²)	θ=arctan(a/b)

例如将3sinx +4cosx转换为5sin(x + 53.13°)，其中R=5，φ=arctan(4/3)。该转换在信号处理中用于谐波分析。

七、反三角函数与定积分求解

反三角函数通过限制原函数值域实现可逆性，其导数特性构成积分公式基础：

[0,π](-π/2,π/2)

函数类型	定义域	值域	导数公式
arcsinx	[-1,1]	[-π/2,π/2]	1/√(1-x²)
arccosx	[-1,1]	-1/√(1-x²)
arctanx	全体实数	1/(1+x²)

典型应用如∫1/(1+x²)dx=arctanx + C，或通过换元法求解∫dx/√(1-x²)=arcsinx + C。

八、复数形式与欧拉公式的统一表达

欧拉公式建立三角函数与复指数的桥梁，其推导基于泰勒展开：

公式类型	代数形式	极坐标形式
欧拉公式	e^iθ=cosθ + isinθ	模长=1，幅角=θ
德摩弗定理	(cosθ + isinθ)^n = cos(nθ)+i·sin(nθ)	复数幂运算法则
三角恒等式	cosθ = (e^iθ + e^-iθ)/2	sinθ = (e^iθ - e^-iθ)/(2i)

该体系将三角运算纳入复数分析框架，例如通过e^iπ+1=0统合五个基本数学常数，或在交流电路分析中简化阻抗计算。

三角函数公式体系通过多维度构建数学模型，其内在逻辑从几何直观延伸至代数抽象，最终在复数域实现统一表达。掌握这些公式不仅需要记忆具体表达式，更需理解其几何意义、变换规律及跨领域应用价值。从单位圆的对称性到傅里叶变换的频域分析，三角函数始终是连接现实世界与数学抽象的重要纽带。