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常用积分表原函数(积分表与原函数对照)

作者:路由通
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发布时间:2025-05-03 07:49:56
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常用积分表原函数是数学分析中重要的工具性知识,其系统性整理了各类函数的不定积分结果。这些原函数不仅涵盖基础幂函数、三角函数、指数函数等基本形式,还延伸至反三角函数、有理分式、根式函数等复杂类型。通过积分表可快速验证计算结果、简化解题流程,并
常用积分表原函数(积分表与原函数对照)

常用积分表原函数是数学分析中重要的工具性知识,其系统性整理了各类函数的不定积分结果。这些原函数不仅涵盖基础幂函数、三角函数、指数函数等基本形式,还延伸至反三角函数、有理分式、根式函数等复杂类型。通过积分表可快速验证计算结果、简化解题流程,并在物理、工程等领域的实际应用中提供理论支撑。值得注意的是,积分表的使用需结合函数定义域、积分技巧(如换元法、分部积分)以及特殊函数特性,例如伽马函数与贝塔函数在广义积分中的扩展应用。然而,机械套用积分表可能导致错误,需结合函数连续性、奇偶性等数学性质综合判断。

常	用积分表原函数

一、基本多项式函数的积分特性

多项式函数积分遵循幂函数积分法则,其原函数形式与幂次密切相关。对于形如( f(x)=x^n )的函数,当( n
eq -1 )时,积分结果为( fracx^n+1n+1+C )。特殊地,当( n=-1 )时需单独处理为( ln|x|+C )。

函数形式原函数表达式定义域限制
( x^n )(( n
eq -1 ))
( fracx^n+1n+1 + C )( x
eq 0 )(当( n < 0 )时)
( x^-1 )( ln|x| + C )( x
eq 0 )
( (ax+b)^n )( frac(ax+b)^n+1a(n+1) + C )( ax+b > 0 )(当( n < 0 )时)

二、三角函数积分的周期性特征

三角函数积分呈现周期性规律,正弦、余弦函数的原函数可通过两次积分循环推导。例如,( int sin x , dx = -cos x + C ),而( int cos x , dx = sin x + C ),这种交替特性源于三角函数的导数关系。

函数类型标准积分形式扩展形式(含参数)
( sin kx )( -frac1kcos kx + C )( int sin(ax+b)dx = -frac1acos(ax+b)+C )
( cos kx )( frac1ksin kx + C )( int cos(ax+b)dx = frac1asin(ax+b)+C )
( tan x )( -ln|cos x| + C )( int tan(ax+b)dx = -frac1aln|cos(ax+b)|+C )

三、指数与对数函数的积分规律

指数函数( e^kx )的积分保持函数形式不变,而对数函数积分则转化为代数表达式。特别地,( int frac1xdx = ln|x|+C )是自然对数函数的核心积分公式。

函数类别积分公式变形示例
指数函数( int e^kxdx = frac1ke^kx+C )( int a^kxdx = fraca^kxkln a+C )
自然对数( int ln x , dx = xln x - x + C )( int ln(ax+b)dx = frac(ax+b)aln(ax+b) - fracax+ba + C )
复合对数( int frac1xdx = ln|x|+C )( int frac1ax+bdx = frac1aln|ax+b|+C )

四、反三角函数的积分推导

反三角函数积分常通过三角代换实现,例如( int frac1sqrt1-x^2dx = arcsin x + C )。此类积分结果往往包含反三角函数与代数项的组合。

  • 核心公式:( int frac1a^2+x^2dx = frac1aarctanleft(fracxaright)+C )
  • 变形扩展:( int frac1sqrta^2-x^2dx = arcsinleft(fracxaright)+C )
  • 组合形式:( int fracxsqrta^2-x^2dx = -sqrta^2-x^2 + C )

五、有理分式的积分分解法

有理函数积分采用部分分式分解策略,将复杂分式拆解为简单分式之和。例如,( frac1x^2-a^2 )可分解为( frac12aleft(frac1x-a-frac1x+aright) )。

分母类型分解形式积分结果
线性因子( (x-a) )( fracAx-a )( Aln|x-a|+C )
二次不可约因子( x^2+a^2 )( fracBx+Cx^2+a^2 )( fracB2ln(x^2+a^2) + fracCaarctanleft(fracxaright)+C )
重根因子( (x-a)^n )( sum_k=1^n fracD_k(x-a)^k )( D_1ln|x-a| - sum_k=2^n fracD_k(k-1)(x-a)^k-1 + C )

六、根式函数的积分技巧

根式积分通常通过变量代换简化。对于( sqrtax+b ),令( t = ax+b )可转化为幂函数积分;对于( sqrtx^2pm a^2 ),则需采用三角代换或双曲代换。

  • 线性根式:( int sqrtax+bdx = frac23asqrt(ax+b)^3 + C )
  • 分式根式:( int fracsqrtxx+adx )需结合欧拉代换

七、特殊函数的积分扩展

误差函数( operatornameerf(x) )和伽马函数( Gamma(n) )在广义积分中具有重要地位。例如,高斯积分( int_-infty^infty e^-x^2dx = sqrtpi )直接关联概率积分与伽马函数。

特殊函数定义式积分关联
误差函数( operatornameerf(x) = frac2sqrtpiint_0^x e^-t^2dt )( int_0^infty e^-x^2dx = fracsqrtpi2 )
伽马函数( Gamma(n) = int_0^infty t^n-1e^-tdt )( int_0^1 (lnfrac1x)^n dx = (-1)^n Gamma(n+1) )
贝塔函数( B(m,n) = int_0^1 t^m-1(1-t)^n-1dt )( B(m,n) = fracGamma(m)Gamma(n)Gamma(m+n) )

分部积分法适用于乘积形式函数,如( int x e^x dx = e^x(x-1)+C )。换元法则通过变量替换简化积分,例如令( t = sin x )处理( int fracdxsqrt1-x^2 )。

  • :( int u dv = uv - int v du ),适用于多项式与指数/三角函数乘积
  • :( x = asintheta )处理( sqrta^2-x^2 ),( x = asectheta )处理( sqrtx^2-a^2 )
  • :( x = acosh t )处理( sqrtx^2+a^2 )
  • :对于( int fracdxsqrtax^2+bx+c ),令( t = x + fracb2a )

常用积分表构建了微积分运算的基石,其系统性体现了数学分析的严密逻辑。从基础幂函数到特殊函数,各类积分公式既独立存在又相互关联。实际应用中需注意定义域限制、函数连续性及积分方法的适配性。未来随着计算机代数系统的发展,符号积分算法将进一步拓展积分表的应用边界,但其核心原理仍源于经典数学理论。掌握这些原函数的本质特征,不仅是解决具体积分问题的关键,更是深入理解数学分析体系的重要途径。

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