常用积分表原函数(积分表与原函数对照)


常用积分表原函数是数学分析中重要的工具性知识,其系统性整理了各类函数的不定积分结果。这些原函数不仅涵盖基础幂函数、三角函数、指数函数等基本形式,还延伸至反三角函数、有理分式、根式函数等复杂类型。通过积分表可快速验证计算结果、简化解题流程,并在物理、工程等领域的实际应用中提供理论支撑。值得注意的是,积分表的使用需结合函数定义域、积分技巧(如换元法、分部积分)以及特殊函数特性,例如伽马函数与贝塔函数在广义积分中的扩展应用。然而,机械套用积分表可能导致错误,需结合函数连续性、奇偶性等数学性质综合判断。
一、基本多项式函数的积分特性
多项式函数积分遵循幂函数积分法则,其原函数形式与幂次密切相关。对于形如( f(x)=x^n )的函数,当( n
eq -1 )时,积分结果为( fracx^n+1n+1+C )。特殊地,当( n=-1 )时需单独处理为( ln|x|+C )。
函数形式 | 原函数表达式 | 定义域限制 |
---|---|---|
( x^n )(( n eq -1 )) | ( fracx^n+1n+1 + C ) | ( x eq 0 )(当( n < 0 )时) |
( x^-1 ) | ( ln|x| + C ) | ( x eq 0 ) |
( (ax+b)^n ) | ( frac(ax+b)^n+1a(n+1) + C ) | ( ax+b > 0 )(当( n < 0 )时) |
二、三角函数积分的周期性特征
三角函数积分呈现周期性规律,正弦、余弦函数的原函数可通过两次积分循环推导。例如,( int sin x , dx = -cos x + C ),而( int cos x , dx = sin x + C ),这种交替特性源于三角函数的导数关系。
函数类型 | 标准积分形式 | 扩展形式(含参数) |
---|---|---|
( sin kx ) | ( -frac1kcos kx + C ) | ( int sin(ax+b)dx = -frac1acos(ax+b)+C ) |
( cos kx ) | ( frac1ksin kx + C ) | ( int cos(ax+b)dx = frac1asin(ax+b)+C ) |
( tan x ) | ( -ln|cos x| + C ) | ( int tan(ax+b)dx = -frac1aln|cos(ax+b)|+C ) |
三、指数与对数函数的积分规律
指数函数( e^kx )的积分保持函数形式不变,而对数函数积分则转化为代数表达式。特别地,( int frac1xdx = ln|x|+C )是自然对数函数的核心积分公式。
函数类别 | 积分公式 | 变形示例 |
---|---|---|
指数函数 | ( int e^kxdx = frac1ke^kx+C ) | ( int a^kxdx = fraca^kxkln a+C ) |
自然对数 | ( int ln x , dx = xln x - x + C ) | ( int ln(ax+b)dx = frac(ax+b)aln(ax+b) - fracax+ba + C ) |
复合对数 | ( int frac1xdx = ln|x|+C ) | ( int frac1ax+bdx = frac1aln|ax+b|+C ) |
四、反三角函数的积分推导
反三角函数积分常通过三角代换实现,例如( int frac1sqrt1-x^2dx = arcsin x + C )。此类积分结果往往包含反三角函数与代数项的组合。
- 核心公式:( int frac1a^2+x^2dx = frac1aarctanleft(fracxaright)+C )
- 变形扩展:( int frac1sqrta^2-x^2dx = arcsinleft(fracxaright)+C )
- 组合形式:( int fracxsqrta^2-x^2dx = -sqrta^2-x^2 + C )
五、有理分式的积分分解法
有理函数积分采用部分分式分解策略,将复杂分式拆解为简单分式之和。例如,( frac1x^2-a^2 )可分解为( frac12aleft(frac1x-a-frac1x+aright) )。
分母类型 | 分解形式 | 积分结果 |
---|---|---|
线性因子( (x-a) ) | ( fracAx-a ) | ( Aln|x-a|+C ) |
二次不可约因子( x^2+a^2 ) | ( fracBx+Cx^2+a^2 ) | ( fracB2ln(x^2+a^2) + fracCaarctanleft(fracxaright)+C ) |
重根因子( (x-a)^n ) | ( sum_k=1^n fracD_k(x-a)^k ) | ( D_1ln|x-a| - sum_k=2^n fracD_k(k-1)(x-a)^k-1 + C ) |
六、根式函数的积分技巧
根式积分通常通过变量代换简化。对于( sqrtax+b ),令( t = ax+b )可转化为幂函数积分;对于( sqrtx^2pm a^2 ),则需采用三角代换或双曲代换。
- 线性根式:( int sqrtax+bdx = frac23asqrt(ax+b)^3 + C )
- 分式根式:( int fracsqrtxx+adx )需结合欧拉代换
七、特殊函数的积分扩展
误差函数( operatornameerf(x) )和伽马函数( Gamma(n) )在广义积分中具有重要地位。例如,高斯积分( int_-infty^infty e^-x^2dx = sqrtpi )直接关联概率积分与伽马函数。
特殊函数 | 定义式 | 积分关联 |
---|---|---|
误差函数 | ( operatornameerf(x) = frac2sqrtpiint_0^x e^-t^2dt ) | ( int_0^infty e^-x^2dx = fracsqrtpi2 ) |
伽马函数 | ( Gamma(n) = int_0^infty t^n-1e^-tdt ) | ( int_0^1 (lnfrac1x)^n dx = (-1)^n Gamma(n+1) ) |
贝塔函数 | ( B(m,n) = int_0^1 t^m-1(1-t)^n-1dt ) | ( B(m,n) = fracGamma(m)Gamma(n)Gamma(m+n) ) |
分部积分法适用于乘积形式函数,如( int x e^x dx = e^x(x-1)+C )。换元法则通过变量替换简化积分,例如令( t = sin x )处理( int fracdxsqrt1-x^2 )。
- :( int u dv = uv - int v du ),适用于多项式与指数/三角函数乘积
- :( x = asintheta )处理( sqrta^2-x^2 ),( x = asectheta )处理( sqrtx^2-a^2 )
- :( x = acosh t )处理( sqrtx^2+a^2 )
- :对于( int fracdxsqrtax^2+bx+c ),令( t = x + fracb2a )
常用积分表构建了微积分运算的基石,其系统性体现了数学分析的严密逻辑。从基础幂函数到特殊函数,各类积分公式既独立存在又相互关联。实际应用中需注意定义域限制、函数连续性及积分方法的适配性。未来随着计算机代数系统的发展,符号积分算法将进一步拓展积分表的应用边界,但其核心原理仍源于经典数学理论。掌握这些原函数的本质特征,不仅是解决具体积分问题的关键,更是深入理解数学分析体系的重要途径。





