连续函数的例题(连续函数习题)

连续函数是数学分析中的核心概念，其定义与性质贯穿于微积分、实变函数等多个分支。例题作为理论与实践的桥梁，需覆盖连续性判断、间断点分类、闭区间性质应用等关键维度。典型例题常通过极限计算、分段函数构造、参数讨论等方式，深入检验学习者对ε-δ语言、左右极限协调性、介值定理等工具的掌握程度。本文选取八大类代表性例题，从定义验证、方法对比、定理应用等角度展开分析，结合数据表格揭示解题思路差异，旨在系统化呈现连续函数例题的教学价值与思维训练路径。

一、基于定义的连续性验证

连续性定义要求函数在某点处极限值等于函数值。例题常考查分段函数在分段点的连续性，需分别计算左右极限并与函数值比较。

例题编号	函数表达式	验证点	计算步骤
L1	( f(x) = begincases x^2 & x geq 0 \ 2x+1 & x < 0 endcases )	( x=0 )	右极限：(lim_x to 0^+ x^2 = 0)；左极限：(lim_x to 0^- (2x+1) = 1)；( f(0)=0 )	不连续（跳跃间断点）
L2	( f(x) = fracsin xx )（( x eq 0 )），补充( f(0)=1 )	( x=0 )	(lim_x to 0 fracsin xx = 1 = f(0))	连续

表1显示，L1因左右极限不等导致不连续，而L2通过极限计算验证连续性。定义法需严格遵循“极限存在且等于函数值”的判定流程。

二、间断点类型判断

间断点分为可去、跳跃、无穷三类，需结合极限状态与函数值综合判断。

例题编号	函数特征	极限行为	类型判定依据
D1	( f(x) = fracx^2-1x-1 )在( x=1 )处	(lim_x to 1 f(x) = 2)，但( f(1) )无定义	可去间断点（极限存在但函数未定义）
D2	( f(x) = tan x )在( x=fracpi2 )	(lim_x to fracpi2 tan x = infty )	无穷间断点（极限不存在且趋于无穷）

表2表明，可去间断点可通过补充定义修复，而无穷间断点反映函数在该点的发散特性。判断时需同步分析函数值与极限关系。

三、闭区间上连续函数的性质应用

介值定理与最值定理是闭区间连续函数的核心性质，例题常要求证明存在性或求解参数范围。

例题类型	函数条件	目标	关键步骤
介值定理应用	( f(x) = e^x - 2 )在([0,1])	存在( c in [0,1] )使( f(c)=0 )	计算端点值：( f(0)=-1 )，( f(1)=e-2≈0.718 )，由中间值定理得证
最值定理应用	( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 )在([-1,3])	求全局最大值与最小值	求导得临界点( x=0,2 )，比较( f(-1)=-2 )，( f(0)=2 )，( f(2)=-2 )，( f(3)=2 )，故最大值为2，最小值为-2

表3对比显示，介值定理关注中间值存在性，而最值定理需遍历临界点与端点。两者均依赖函数在闭区间上的连续性。

四、分段函数连续性的参数求解

含参数的分段函数需通过连续性条件建立方程求解参数值，常见于考研数学题。

例题编号	函数表达式	连续性条件	参数解
P1	( f(x) = begincases ax + 1 & x leq 1 \ ln x + b & x > 1 endcases )	(lim_x to 1^- (ax+1) = lim_x to 1^+ (ln x + b) = f(1) )	解得( a=1 )，( b=1 )
P2	( f(x) = begincases e^x+k & x < 0 \ cos x & x geq 0 endcases )	(lim_x to 0^- e^x+k = cos 0 = 1 )	代入得( e^k = 1 )，故( k=0 )

表4中参数求解需联立左右极限与函数值，体现连续性条件对函数整体结构的约束作用。

五、复合函数连续性分析

复合函数连续性取决于内外函数的连续性，例题常考查断点传递规律。

例题编号	函数结构	内层函数连续性	外层函数连续性	整体连续性
C1	( f(x) = sin left( frac1x right) )（( x eq 0 )）	( g(x) = frac1x )在( x=0 )不连续	( h(u) = sin u )处处连续	( f(x) )在( x=0 )不连续（内层不连续导致整体不连续）
C2	( f(x) = e^sqrtx )	( g(x) = sqrtx )在( x=0 )右连续	( h(u) = e^u )处处连续	( f(x) )在( x=0 )右连续（内层单侧连续保证整体单侧连续）

表5表明，内层函数的不连续点可能直接导致复合函数不连续，但单侧连续性可传递至复合函数。

六、隐函数连续性证明

涉及隐函数存在的例题需结合连续性定义与方程求解，常出现在证明题中。

例题编号	方程形式	连续性证明思路	关键定理
Y1	( x^2 + y^2 = 1 )（隐函数( y=f(x) )）	通过反函数连续性推导，或直接验证极限值等于函数值	严格单调函数连续性
Y2	( e^xy + x + y = 0 )	使用隐函数定理：验证偏导数( F_y eq 0 )，结合连续性保持性质	隐函数存在性定理

表6显示，显式表达与隐函数定理是两类主要证明路径，需根据方程特征选择合适的方法。

七、连续性与极限计算的综合应用

连续性可简化极限计算，例题常要求先补全函数定义再求极限。

例题编号	原函数缺陷	连续性修正方案	极限计算结果
J1	( f(x) = fracx^3 - 8x - 2 )（( x eq 2 )）	定义( f(2) = lim_x to 2 fracx^3 - 8x - 2 = 12 )	(lim_x to 2 f(x) = 12 )（利用连续性直接代入）
J2	( f(x) = (1 + 2x)^frac1x )（( x eq 0 )）	补充( f(0) = lim_x to 0 (1 + 2x)^frac1x = e^2 )	(lim_x to 0 f(x) = e^2 )（连续性修正后直接求值）

表7案例表明，通过连续性补全函数定义后，原本需复杂计算的极限可转化为直接代入，显著降低计算难度。

八、连续性在实际问题中的建模应用

物理、几何问题常需建立连续函数模型，例题侧重检验数学工具的实际转化能力。

应用场景	数学模型	连续性作用	求解关键
温度变化监测	( T(t) = fract^2 + 5t + 1 )（( t geq 0 )）	确保时间连续变化时温度无突变	验证( t=0 )处连续性：(lim_t to 0 T(t) = 5 = T(0) )
平面图形面积计算	曲边梯形面积函数( A(x) = int_0^x f(t) dt )	被积函数( f(x) )连续保证面积函数可导	应用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分

表8展示连续性在保障模型合理性中的关键作用，如温度函数的连续避免物理悖论，面积函数的可导性支撑微积分运算。

通过对八大类例题的系统分析可见，连续函数例题设计紧密围绕定义验证、性质应用、参数求解等核心维度，既考查基础计算能力，又强调定理的综合运用。表格对比揭示了不同解题路径的差异，如定义法与定理法的互补性、参数问题中方程建立的逻辑链条。实际应用场景的融入，则凸显了连续性在数学建模中的桥梁作用。整体而言，例题体系通过多角度、多层次的训练，助力学习者深化对连续函数本质的理解，为后续学习微分、积分理论奠定坚实基础。