三角函数的所有公式及其推导公式(三角函数公式推导)

三角函数作为数学中的核心工具，其公式体系以简洁的对称性和深刻的数学内涵著称。从基础定义到复杂恒等式，三角函数通过单位圆、直角三角形和复数等多种视角构建起完整的理论框架。其公式网络以勾股定理为基础，通过角度运算（和差、倍半角）和函数转换（积化和差、和差化积）形成闭环系统，而欧拉公式的引入更是将三角函数与复指数函数深度融合。值得注意的是，三角函数的公式推导往往具有双向性，例如从和角公式可逆推差角公式，从倍角公式可导出半角公式，这种逻辑循环使得公式记忆可通过少数核心公式展开。在应用层面，三角函数公式不仅是解三角形的基础工具，更在微积分、傅里叶分析等领域发挥关键作用，其公式体系的完备性直接影响着科学技术问题的解决效率。

---

一、基础定义与核心关系

三角函数的定义体系

三角函数定义可分为几何定义（基于单位圆/直角三角形）和解析定义（基于幂级数/欧拉公式）。

函数类型	几何定义（单位圆）	直角三角形定义	解析定义
正弦函数	y/r（单位圆纵坐标）	对边/斜边	$sum_n=0^infty (-1)^n fracx^2n+1(2n+1)!$
余弦函数	x/r（单位圆横坐标）	邻边/斜边	$sum_n=0^infty (-1)^n fracx^2n(2n)!$
正切函数	y/x（单位圆斜率）	对边/邻边	$fracsin xcos x$

核心恒等关系

三角函数通过以下三类恒等式构成基础框架：

1. 倒数关系：$tantheta = frac1cottheta$，$sectheta = frac1costheta$
2. 平方关系：$sin^2theta + cos^2theta = 1$
3. 商数关系：$tantheta = fracsinthetacostheta$

---

二、和差公式与倍角公式

和差角公式

通过向量投影或单位圆旋转对称性可推导：

$$
beginaligned
sin(a pm b) &= sin a cos b pm cos a sin b \
cos(a pm b) &= cos a cos b mp sin a sin b \
tan(a pm b) &= fractan a pm tan b1 mp tan a tan b
endaligned
$$

推导示例（几何法）：将角度$b$视为旋转后的投影，通过构造辅助三角形验证分量叠加原理。

倍角公式

令和角公式中$a = b$，直接推导：

$$
beginaligned
sin 2theta &= 2sinthetacostheta \
cos 2theta &= cos^2theta - sin^2theta = 2cos^2theta - 1 = 1 - 2sin^2theta \
tan 2theta &= frac2tantheta1 - tan^2theta
endaligned
$$

公式类型	表达式	推导路径
三倍角公式	$sin 3theta = 3sintheta - 4sin^3theta$	组合$sin(2theta+theta)$展开
半角公式	$sinfractheta2 = pmsqrtfrac1-costheta2$	令$2alpha = theta$反推

---

三、半角公式与降幂公式

半角公式

通过倍角公式的逆运算推导：

$$
beginaligned
sinfractheta2 &= pmsqrtfrac1-costheta2 \
cosfractheta2 &= pmsqrtfrac1+costheta2 \
tanfractheta2 &= frac1-costhetasintheta = fracsintheta1+costheta
endaligned
$$

符号规则：半角函数符号由$theta/2$所在象限决定。

降幂公式

将高次幂转化为低次幂：

$$
beginaligned
sin^2theta &= frac1-cos 2theta2 \
cos^2theta &= frac1+cos 2theta2 \
sin^3theta &= frac3sintheta - sin 3theta4
endaligned
$$

应用场景：简化积分运算或傅里叶级数展开。

---

四、和差化积与积化和差

和差化积公式

通过构造角度加减实现乘积转换：

$$
beginaligned
sin a + sin b &= 2sinfraca+b2cosfraca-b2 \
cos a + cos b &= 2cosfraca+b2cosfraca-b2 \
sin a cdot cos b &= frac12[sin(a+b) + sin(a-b)]
endaligned
$$

推导思路：令$x = fraca+b2$，$y = fraca-b2$，重构表达式。

积化和差公式

与和差化积互为逆运算：

$$
beginaligned
sin a sin b &= frac12[cos(a-b) - cos(a+b)] \
cos a cos b &= frac12[cos(a+b) + cos(a-b)] \
sin a cos b &= frac12[sin(a+b) + sin(a-b)]
endaligned
$$

公式类型	表达式	典型应用
和差化积	$cos a - cos b = -2sinfraca+b2sinfraca-b2$	振动叠加分析
积化和差	$sin a sin b = frac12[cos(a-b) - cos(a+b)]$	信号调制解调

---

五、诱导公式与周期性

诱导公式体系

通过角度变换（$+pi$、$+fracpi2$）实现函数转换：

$$
beginaligned
sin(pi pm theta) &= mpsintheta \
cos(pi pm theta) &= -costheta \
tanleft(fracpi2 pm thetaright) &= mpcottheta
endaligned
$$

口诀记忆法："奇变偶不变，符号看象限"。

周期性特征

三角函数周期由定义直接决定：

$$
beginaligned
sintheta &= sin(theta + 2kpi) \
costheta &= cos(theta + 2kpi) \
tantheta &= tan(theta + kpi) quad (k in mathbbZ)
endaligned
$$

应用场景：简化复杂角度计算，如$sin(780^circ) = sin(60^circ) = fracsqrt32$。

---

六、万能公式与辅助角公式

万能公式

通过半角正切统一表达三角函数：

$$
beginaligned
sintheta &= frac2tanfractheta21 + tan^2fractheta2 \
costheta &= frac1 - tan^2fractheta21 + tan^2fractheta2 \
tantheta &= frac2tanfractheta21 - tan^2fractheta2
endaligned
$$

推导方法：令$t = tanfractheta2$，结合倍角公式转换。

辅助角公式

将线性组合转化为单一三角函数：

$$
asintheta + bcostheta = sqrta^2 + b^2 sinleft(theta + arctanfracbaright)
$$

推导步骤：构造相位角$phi$使得$cosphi = fracasqrta^2+b^2$，$sinphi = fracbsqrta^2+b^2$。

公式类型	表达式	物理意义
幅角形式	$Asintheta + Bcostheta = Rsin(theta + alpha)$	振动合成原理
复数形式	$re^itheta = r(costheta + isintheta)$	欧拉公式应用

---

七、反三角函数与方程求解

反函数定义域

通过限制原函数定义域保证单射性：

$$
beginaligned
arcsin x &: [-1,1] rightarrow [-fracpi2, fracpi2] \
arccos x &: [-1,1] rightarrow [0, pi] \
arctan x &: mathbbR rightarrow (-fracpi2, fracpi2)
endaligned
$$

关键性质：$arcsin x + arccos x = fracpi2$。

三角方程求解策略

• 利用恒等变形简化方程（如$sin^2x = 1 - cos^2x$）
• 通过变量代换转化方程（令$t = tanfracx2$）
• 结合周期性确定通解形式（如$sin x = a$的解为$x = arcsin a + 2kpi$）

示例：解$cos(3x) = fracsqrt22$，需考虑$3x = pmfracpi4 + 2kpi$，最终$x = pmfracpi12 + frac2kpi3$。

---

八、复数域扩展与欧拉公式

欧拉公式桥梁作用

通过复指数统一三角函数与指数函数：

$$
e^itheta = costheta + isintheta
$$

由此可推导：

$$
beginaligned
costheta &= frace^itheta + e^-itheta2 \
sintheta &= frace^itheta - e^-itheta2i
endaligned
$$

应用场景：快速计算复数幂次（如$e^ipi/3 = cosfracpi3 + isinfracpi3$）。

棣莫弗定理

复数幂运算的三角表达：

$$
(costheta + isintheta)^n = cos(ntheta) + isin(ntheta)
$$

证明方法：数学归纳法或欧拉公式直接展开。

定理类型	表达式	应用领域
复数开方	$sqrt[n]costheta + isintheta = cosfractheta+2kpin + isinfractheta+2kpin$	信号处理中的频域分析
三角幂级数	$sin^ntheta = left[frace^itheta - e^-itheta2iright]^n$	量子力学态展开

---

三角函数公式体系通过多维度交叉印证，展现出数学结构的严谨性与实用性。从几何直观到复数解析，从基础恒等到高级变换，其内在逻辑环环相扣。掌握这些公式不仅需要理解推导原理，更需通过对比记忆（如和差公式与积化和差对比）、场景关联（如振动合成与辅助角公式）建立深层认知。现代数学中，三角函数已超越传统几何范畴，成为连接实数分析、复变函数乃至物理学的核心纽带。