常见函数的导数例题(常用函数导数题)
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常见函数的导数例题是微积分学习中的核心内容，其教学价值体现在通过具体案例帮助学生理解抽象导数规则的实际应用场景。这类例题通常覆盖幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基础函数类型，并延伸至复合函数、隐函数等复杂形态。从教学实践看，优秀例题需具备三个特征：一是典型性，能集中体现某类函数的求导规律；二是层次性，通过梯度设计展现从基础到综合的思维进阶；三是对比性，通过变式训练强化相似函数的求导差异。例如幂函数与指数函数虽形式相近，但导数规律存在本质区别，需通过对比表格直观呈现。
本文将从八个维度系统剖析常见函数导数例题，包括基础函数求导规则、复合函数链式法则应用、隐函数求导技巧、参数方程处理方式、分段函数衔接点处理、高阶导数计算范式、对数求导法应用场景及反函数导数特殊处理。每个维度均配置典型例题与数据表格，重点通过函数类型对比表、求导规则差异表、特殊场景处理表三组深度对比表格揭示知识关联。
一、基础初等函数导数规则
基础函数导数规则是导数运算的基石，包含常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数五类核心函数。
| 函数类型 | 表达式 | 导数公式 | 示例 |
|---|---|---|---|
| 常数函数 | y = C | y' = 0 | y = 7 → y' = 0 |
| 幂函数 | y = x^n | y' = n·x^(n-1) | y = x³ → y' = 3x² |
| 指数函数 | y = a^x | y' = a^x·ln a | y = e^x → y' = e^x |
| 对数函数 | y = log_a x | y' = 1/(x·ln a) | y = ln x → y' = 1/x |
| 三角函数 | y = sin x | y' = cos x | y = cos x → y' = -sin x |
典型例题：求y=2^x·ln x的导数。
解析过程：该函数为指数函数与对数函数的乘积，需应用乘积法则。设u=2^x，v=ln x，则u'=2^x·ln 2，v'=1/x。根据(uv)'=u'v+uv'，得y'=2^x·ln 2·ln x + 2^x·(1/x)。此例展示了复合函数求导时需同时运用指数函数导数公式和乘积法则。
二、复合函数链式法则应用
复合函数求导是导数运算的核心难点，链式法则可表述为：若y=f(g(x))，则y'=f'(g(x))·g'(x)。
| 复合结构 | 外层函数 | 内层函数 | 导数计算步骤 |
|---|---|---|---|
| 线性复合 | y=e^u, u=3x² | y'=e^(3x²)·6x | 1. 对外层求导得e^u 2. 对内层求导得6x 3. 相乘得结果 |
| 多层复合 | y=ln(sin x) | y'= (1/sin x)·cos x = cot x | 1. 外层ln(u)导数为1/u 2. 中层sin x导数为cos x 3. 相乘化简 |
| 指数-根号复合 | y=√(e^x) | y'= (1/(2√(e^x)))·e^x = √(e^x)/2 | 1. 外层√u导数为1/(2√u) 2. 内层e^x导数为e^x 3. 代入化简 |
典型例题：求y=sin(2^x)的三阶导数。
解析过程：
- 一阶导数：y'=cos(2^x)·2^x·ln 2
- 二阶导数：y''= -sin(2^x)·(2^x·ln 2)^2 + cos(2^x)·2^x·(ln 2)^2
- 三阶导数：需对二阶导数逐项应用乘积法则，最终结果为：
y'''= [ -cos(2^x)·(2^x·ln 2)^3 + 3·sin(2^x)·2^x·(ln 2)^3 ]
此例显示高阶导数计算需反复应用链式法则，且每次求导都会产生新的复合结构。
三、隐函数求导技巧
隐函数求导需运用隐函数定理，通过方程两边同时对x求导，再解出dy/dx。关键步骤包括：
- 将y视为x的函数进行求导
- 使用链式法则处理含y的项
- 将dy/dx项合并求解
| 方程类型 | 原方程 | 求导过程 | 结果 |
|---|---|---|---|
| 多项式型 | x²+y²=1 | 2x+2y·y'=0 → y'=-x/y | y'= -x/y |
| 指数-对数混合型 | x^y = y^x | 取自然对数得：y lnx = x lny 两边求导：y'/x + y/x = lny + x·(y')/y | y'= (y² - x y lny)/(x² - x y lnx) |
| 根式方程 | √(x+y) = x² | (1/(2√(x+y)))·(1+y') = 2x | y'= (4x√(x+y) -1)/1 |
典型例题：求由方程e^y + xy = e确定的曲线在x=0处的导数。
解析步骤：
- 代入x=0得e^y(0) + 0 = e → y(0)=1
- 方程两边求导：e^y·y' + y + x y' = 0
- 代入x=0,y=1得：e^1·y' + 1 = 0 → y'= -1/e
此例演示了隐函数求导的标准流程，特别强调初始条件代入的必要性。
四、参数方程求导方法
参数方程求导遵循参数求导法则：若x=φ(t), y=ψ(t)，则dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)。该方法特别适用于轨迹方程和摆线等问题。
| 参数方程 | dx/dt | dy/dt | dy/dx |
|---|---|---|---|
| 摆线方程 | x=a(t-sin t), y=a(1-cos t) | dx/dt=a(1-cos t), dy/dt=a sin t | dy/dx= (a sin t)/(a(1-cos t)) = (sin t)/(1-cos t) |
| 圆渐开线 | x=r(cos t + t sin t), y=r(sin t - t cos t) | dx/dt=r(-sin t + sin t + t cos t)=r t cos t dy/dt=r(cos t - cos t + t sin t)=r t sin t | dy/dx= (r t sin t)/(r t cos t) = tan t |
| 星形线 | x=acos³t, y=asin³t | dx/dt=-3a cos²t sin t, dy/dt=3a sin²t cos t | dy/dx= (3a sin²t cos t)/(-3a cos²t sin t) = -tant |
典型例题：求参数方程x=t², y=t³在t=1处的二阶导数d²y/dx²。
解析过程：
- 一阶导数：dy/dx = (3t²)/(2t) = 3t/2
- 二阶导数：d²y/dx² = d/dx(3t/2) = (d/dt(3t/2)) / (dx/dt) = (3/2)/(2t) = 3/(4t)
- 代入t=1得：d²y/dx²= 3/4
此例说明高阶导数计算需采用商的导数法则，且需注意参数t与自变量x的转换关系。
五、分段函数衔接点处理
分段函数在分段点处的可导性需满足
- 分别求左右段的导数表达式
- 计算分段点的左导数和右导数
- 检验两者是否相等
| 函数定义 | 左导数计算 | 右导数计算 | 可导性 |
|---|---|---|---|
| f(x)=x², x≤0; x³, x＞0 | 左导数：lim_h→0^- ( (0+h)^2 -0 ) / h = 0 | 右导数：lim_h→0^+ ( (0+h)^3 -0 ) / h = 0 | 在x=0处可导，f'(0)=0 |
| f(x)=sin x, x＜π/2; cos x, x≥π/2 | 左导数：cos(π/2)=0 | 右导数：-sin(π/2)=-1 | 不可导，左右导数不等 |
| f(x)=e^x, x≠0; 1, x=0 | 左导数：lim_h→0^- (e^h -1)/h =1 | 右导数：lim_h→0^+ (e^h -1)/h =1 | 在x=0处可导，f'(0)=1 |
典型例题：讨论f(x)=begincases x^2 sin(1/x), & x≠0 \ 0, & x=0 endcases在x=0处的可导性。
解析过程：
- 计算导数定义式：f'(0)=lim_h→0 [h² sin(1/h) -0]/h = lim_h→0 h sin(1/h) =0
- 检验左右导数：由于极限值恒为0，左右导数相等
- 函数在x=0处可导且f'(0)=0
此例表明绝对值函数在原点处的导数不存在，而本题通过构造特殊振荡函数展示了极限存在但不可导的特例。
对数求导法适用于三种典型场景：
| 函数类型 | 原函数 | 取对数后形式 | 求导结果 |
|---|---|---|---|
| 幂指函数 | y=(x+1)^(2x) | ln y=2x·ln(x+1) | y'= (x+1)^(2x) · [2 ln(x+1) + 2x/(x+1)] |
