高中所有三角函数公式(高中三角公式大全)

三角函数作为高中数学的核心内容，其公式体系具有高度的系统性和逻辑性。从基础定义到复杂恒等式，从单一角度运算到多角度关联，这些公式构建了完整的三角函数知识网络。其核心价值不仅体现在数值计算层面，更在于揭示角度与长度、旋转与比例之间的深层联系。通过正弦、余弦、正切三大基础函数延伸出的系列公式，形成了处理周期性现象、解析几何问题、解决物理运动模型的重要工具。掌握这些公式需注意三个维度：一是函数定义与单位圆的几何对应关系，二是代数运算与三角恒等式的转换规律，三是公式间通过角度变换形成的推导链条。

一、基础定义与核心公式体系

三角函数体系以单位圆定义为根基，通过坐标系中的投影关系建立函数表达式。

函数类型	定义表达式	核心取值范围
正弦函数	sinα = y/r = 对边/斜边	[-1,1]
余弦函数	cosα = x/r = 邻边/斜边	[-1,1]
正切函数	tanα = y/x = 对边/邻边	全体实数

特殊角度的三角函数值构成重要数据基础，需结合30°-45°-60°直角三角形特性记忆：

角度	sin值	cos值	tan值
0°	0	1	0
30°	1/2	√3/2	√3/3
45°	√2/2	√2/2	1
60°	√3/2	1/2	√3
90°	1	0	无定义

二、同角三角函数基本关系

平方关系与倒数关系构成最基础的恒等式系统：

• sin²α + cos²α = 1
• 1 + tan²α = sec²α
• 1 + cot²α = csc²α

该体系衍生出三类变形公式：

变形方向	具体公式	应用场景
表达式转换	sinα = ±√(1-cos²α)	已知余弦求正弦
象限判断	cosα = -√(1-sin²α)（第二象限）	符号确定
方程求解	sin²α = 1 - cos²α	三角方程化简

三、诱导公式系统

通过角度变换实现函数值转化，遵循"奇变偶不变，符号看象限"原则：

角度变换类型	公式特征	示例公式
π/2增减	函数名变更	sin(π/2+α)=cosα
π增减	符号变化	sin(π+α)=-sinα
2π周期	值不变	sin(2π+α)=sinα

实际应用中需注意：

• 角度换算时先将度数转换为弧度制
• 判断原函数所在象限确定符号
• 多重变换时按顺序逐步处理

四、和差角公式与倍角公式

角度加减运算的核心公式体系：

公式类型	正弦形式	余弦形式	正切形式
和角公式	sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ	cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ	tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
差角公式	sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ	cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ	tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
倍角公式	sin2α=2sinαcosα	cos2α=cos²α-sin²α	tan2α=2tanα/(1-tan²α)

该体系呈现三级递进关系：

1. 基础和差角公式的直接应用
2. 通过令β=α得到倍角公式
3. 半角公式通过倍角公式逆推产生

五、三角函数图像特性

三类基本函数图像的核心参数对比：

函数类型	周期	对称轴	极值点
y=sinx	2π	x=π/2 +kπ	(π/2+2kπ,1)
y=cosx	2π	x=kπ	(kπ,1)
y=tanx	π	无垂直对称轴	无固定极值

图像变换规律：

• 振幅变化：y=Asin(x)的纵坐标拉伸A倍
• 周期变化：y=sin(wx)的横坐标压缩w倍
• 相位移动：y=sin(x+φ)向左平移φ单位
• 垂直平移：y=sin(x)+k整体上下移动k单位

六、解三角形核心公式

正弦定理与余弦定理构成解题框架：

定理名称	表达式	适用场景
正弦定理	a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R	已知两角一边或两边一角
余弦定理	c² = a² + b² - 2abcosC	已知三边或两边夹角
面积公式	S = 1/2 ab sinC	任意两边及夹角求面积

实际应用中的扩展公式：

• a² + b² > c² ⇒ 锐角三角形
• a² + b² = c² ⇒ 直角三角形
• a² + b² < c² ⇒ 钝角三角形

七、和差化积与积化和差公式

该组公式实现乘积与和差的相互转换：

转换方向	具体公式	记忆口诀
和差化积	sinα + sinβ = 2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]	正余弦，半角差，前同名，后补角
积化和差	sinαcosβ = [sin(α+β) + sin(α-β)]/2	积化和差，双角平均，符号随原函数
特殊形式	cosα - cosβ = -2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]	余余相减，负正弦乘积

应用要点：

• 注意角度范围对符号的影响
• 复杂表达式需分步转换处理
• 常与倍角公式配合使用