高中三角函数公式一览(高中三角公式集)

作者：路由通

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发布时间：2025-05-04 05:42:23

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高中三角函数公式体系是数学学科中极具系统性与逻辑性的知识模块，其内容涵盖定义、恒等变换、图像性质及实际应用等多个维度。作为连接代数与几何的重要桥梁，三角函数不仅是解决三角形相关问题的核心工具，更是研究周期性现象、波动模型及复杂函数分析的基础

高中三角函数公式体系是数学学科中极具系统性与逻辑性的知识模块，其内容涵盖定义、恒等变换、图像性质及实际应用等多个维度。作为连接代数与几何的重要桥梁，三角函数不仅是解决三角形相关问题的核心工具，更是研究周期性现象、波动模型及复杂函数分析的基础。该知识体系以单位圆定义为原点，通过弧度制与角度制的双向转换，构建起包含同角关系、诱导公式、和差化积公式、二倍角公式等在内的完整公式网络。其中，公式间的推导关联体现了数学的严密性，而特殊角数值表、象限符号规则等实用数据则为解题提供直接支撑。掌握三角函数公式不仅需要记忆关键表达式，更需理解其几何意义与代数推导逻辑，从而在函数图像分析、解三角形、物理建模等场景中灵活运用。

高中三角函数公式一览

一、三角函数基础定义与核心概念

三角函数体系以单位圆定义为根基，结合直角三角形比例关系形成完整框架。

函数类型	单位圆定义	直角三角形定义	定义域
正弦函数(sinθ)	y坐标	对边/斜边	全体实数
余弦函数(cosθ)	x坐标	邻边/斜边	全体实数
正切函数(tanθ)	y/x	对边/邻边	θ≠kπ+π/2

特殊角数值表（0°-90°）是三角函数计算的基础工具：

角度θ	sinθ	cosθ	tanθ
0°	0	1	0
30°	1/2	√3/2	√3/3
45°	√2/2	√2/2	1
60°	√3/2	1/2	√3
90°	1	0	不存在

象限符号规则通过"ASTC"法则记忆：第一象限全正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正。

二、同角三角函数基本关系式

平方关系与倒数关系构成最核心的恒等式系统：

平方关系：sin²θ + cos²θ = 1
倒数关系：tanθ = sinθ/cosθ
商数关系：cotθ = cosθ/sinθ

该组公式可通过单位圆定义直接推导，是证明其他恒等式的基础。例如将tanθ代入平方关系可得：1 + tan²θ = sec²θ，形成扩展公式体系。

三、诱导公式体系与应用

诱导公式解决任意角三角函数值计算问题，遵循"奇变偶不变，符号看象限"原则：

角度形式	转换规则	函数名称变化
k·360°±α	保持α锐角形式	不变号
(k·360°+180°)±α	转化为π±α	正负交替
(k·180°+90°)±α	转化为π/2±α	正余互换

口诀"奇变偶不变"指π/2的奇数倍时函数名改变（正弦变余弦），"符号看象限"需将新角度置于原函数所在象限判断正负。

四、和差角公式与倍角公式

两角和差公式是三角函数运算的核心工具：

公式类型	正弦和差	余弦和差	正切和差
加法公式	sin(a+b)=sina cosb + cosa sinb	cos(a+b)=cosa cosb - sina sinb	tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tana tanb)
减法公式	sin(a-b)=sina cosb - cosa sinb	cos(a-b)=cosa cosb + sina sinb	tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tana tanb)

二倍角公式可视为和角公式的特殊情形：

sin2α = 2sinαcosα
cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α -1 = 1-2sin²α
tan2α = 2tanα/(1-tan²α)

半角公式通过余弦二倍角公式推导得出：

cos(α/2) = ±√[(1+cosα)/2]

sin(α/2) = ±√[(1-cosα)/2]

tan(α/2) = ±√[(1-cosα)/(1+cosα)] = sinα/(1+cosα) = (1-cosα)/sinα

五、和差化积与积化和差公式

该组公式实现三角函数乘积与和差的相互转换：

转换方向	正弦型	余弦型
和差化积	sina + sinb = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]	cosa + cosb = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
积化和差	sina sinb = [cos(a-b) - cos(a+b)]/2	cosa cosb = [cos(a+b) + cos(a-b)]/2