对数函数的典型例题(对数函数例题)
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对数函数作为数学中重要的基本初等函数之一，其典型例题不仅涵盖了函数定义、图像性质、方程求解等基础知识，更延伸至实际应用、复合函数分析、不等式处理等高阶思维领域。通过对典型例题的多维度剖析，可深入理解对数函数的核心特征，掌握其与指数函数、幂函数的内在联系，并提升数学建模与问题解决能力。以下从八个方面展开详细分析，结合具体例题与数据对比，系统阐述对数函数的典型问题解决路径。
一、定义与性质的深化理解
对数函数的定义域为( (0, +infty) )，值域为( mathbbR )，其核心性质包括单调性（底数( a>1 )时递增，( 0 例题1：比较( log_3 4 )与( log_5 6 )的大小。 分析：利用换底公式( log_a b = fracln bln a )，将两值转换为自然对数形式：
底数( a ) 单调性 定义域 值域 特殊点 ( a > 1 ) 递增 ( x > 0 ) ( mathbbR ) ( (1, 0) ) ( 0 < a < 1 ) 递减 ( x > 0 ) ( mathbbR ) ( (1, 0) )
log_3 4 = fracln 4ln 3 approx 1.262, quad log_5 6 = fracln 6ln 5 approx 1.113
]
二、图像变换与参数分析
对数函数图像可通过平移、伸缩、对称等变换生成复杂函数图像。例如，( y = log_a (x + c) + d )的图像由( y = log_a x )向左平移( c )个单位，再向上平移( d )个单位得到。
| 原函数 | 变换类型 | 新函数 | 图像特征 |
|---|---|---|---|
| ( y = log_a x ) | 横向平移 | ( y = log_a (x + c) ) | 向左移( c )单位（( c > 0 )） |
| ( y = log_a x ) | 纵向平移 | ( y = log_a x + d ) | 向上移( d )单位（( d > 0 )） |
| ( y = log_a x ) | 底数反转 | ( y = log_1/a x ) | 关于( x )轴对称 |
例题2：绘制( y = log_2 (x - 1) - 3 )的图像。
分析：原函数( y = log_2 x )向右平移1个单位，再向下平移3个单位。关键点( (2, -3) )替代原点( (1, 0) )，渐近线为( x = 1 )。
三、方程与不等式的求解策略
对数方程求解需注意定义域限制，常用换元法或指数化处理；对数不等式需结合单调性分类讨论。
| 题型 | 解法核心 | 关键步骤 |
|---|---|---|
| 方程( log_a f(x) = b ) | 指数化转换 | ( f(x) = a^b )，验证定义域 |
| 不等式( log_a f(x) > g(x) ) | 单调性分析 | 分( a > 1 )与( 0 < a < 1 )讨论 |
例题3：解方程( log_3 (x^2 - 4x + 5) = 1 )。
分析：指数化得( x^2 - 4x + 5 = 3^1 = 3 )，即( x^2 - 4x + 2 = 0 )。解得( x = 2 pm sqrt2 )，均满足原方程定义域( x^2 - 4x + 5 > 0 )。
四、实际应用中的模型构建
对数函数常用于描述增长率递减、半衰期、pH值计算等场景。例如，放射性物质质量( M(t) = M_0 cdot e^-kt )取对数后可得线性关系( ln M(t) = ln M_0 - kt )。
| 应用场景 | 数学模型 | 对数形式 |
|---|---|---|
| 人口增长（增速递减） | ( P(t) = P_0 e^rt ) | ( ln P(t) = ln P_0 + rt ) |
| 化学pH值计算 | ( pH = -log_10 [H^+] ) | ( [H^+] = 10^-pH ) |
| 地震能量衰减 | ( E = E_0 cdot 10^-kd ) | ( log_10 E = log_10 E_0 - kd ) |
例题4：某药物浓度( C(t) = C_0 cdot 2^-t/3 )，求浓度降至初始值10%所需时间。
分析：设( C(t) = 0.1 C_0 )，代入得( 2^-t/3 = 0.1 )。取对数得( -fract3 log_2 2 = log_10 0.1 )，解得( t = 3 cdot fraclog_10 10log_10 2 approx 9.97 )小时。
五、复合函数的定义域与值域
形如( y = log_a [f(x)] )的复合函数，其定义域需满足( f(x) > 0 )，值域则由( f(x) )的取值范围决定。
| 内层函数( f(x) ) | 定义域条件 | 值域范围 | 外层对数定义域 |
|---|---|---|---|
| ( f(x) = x^2 - 2x + 3 ) | ( x^2 - 2x + 3 > 0 ) | ( [2, +infty) ) | 全体实数 |
| ( f(x) = sin x ) | ( sin x > 0 ) | ( (0, 1] ) | ( x in (2kpi, 2kpi + pi) ) |
例题5：求函数( y = log_2 (x^2 - 4x + 5) )的值域。
分析：内层函数( x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1 geq 1 )，故( log_2 [(x-2)^2 + 1] geq log_2 1 = 0 )，值域为( [0, +infty) )。
六、不等式求解的分类讨论
对数不等式( log_a f(x) > g(x) )需根据底数( a )的单调性分情况处理，并结合定义域限制。
| 底数范围 | 单调性 | 不等式转换规则 |
|---|---|---|
| ( a > 1 ) | 递增 | 保持不等号方向不变 |
| ( 0 < a < 1 ) | 递减 | 反转不等号方向 |
例题6：解不等式( log_0.5 (x^2 - x - 2) > 1 )。
分析：底数( 0.5 < 1 )，故不等式等价于( x^2 - x - 2 < 0.5^1 = 0.5 )，即( x^2 - x - 2.5 < 0 )。解得( x in (-0.5, 1.5) )，但需满足原定义域( x^2 - x - 2 > 0 )，即( x < -1 )或( x > 2 )。最终无解。
七、与其他函数的关联与转换
对数函数与指数函数互为反函数，且常与幂函数结合形成复合函数。例如，( y = a^log_a x = x )（( x > 0 )），( y = log_a (a^x) = x )（( a > 0, a
eq 1 )）。
| 函数类型 | 转换关系 | 定义条件 |
|---|---|---|
| 指数与对数互化 | ( a^b = c Leftrightarrow log_a c = b ) | ( a > 0, a eq 1, c > 0 ) |
| 复合函数简化 | ( log_a (a^x) = x ) | ( a > 0, a eq 1 ) |
| 幂函数与对数结合 | ( (log_a x)^n = log_a x^n )（仅当( n )为整数时成立） | ( x > 0, a > 0, a eq 1 ) |
例题7：化简( log_3 sqrt9^x+1 )。
分析：( 9^x+1 = 3^2(x+1) )，故( sqrt9^x+1 = 3^x+1 )。因此原式= ( log_3 3^x+1 = x + 1 )。
学生在对数运算中常忽略定义域、混淆运算规则或错误应用单调性。例如，误认为( log_a (M + N) = log_a M + log_a N )，或未验证方程解的合理性。
