导函数求导公式大全（导数公式汇总)

导函数求导公式大全是微积分学的核心组成部分，其系统性与逻辑性体现了数学分析的严谨架构。从基础幂函数到复杂复合函数，从显式方程到隐式关系，求导规则构建了一套完整的符号运算体系。这些公式不仅是理论推导的工具，更是物理、工程、经济等领域建模分析的基石。例如，链式法则打通了多层复合函数的求导路径，隐函数定理则拓展了非线性关系的可解范围。值得注意的是，公式的适用性常隐含特定条件，如反函数求导需原函数可导且逆映射连续，参数方程求导需满足消参后的可微性。掌握这些公式需兼顾机械记忆与逻辑理解，既要熟悉基本导数表，又要能灵活运用四则运算、复合分解等组合规则。

一、基本初等函数导数公式体系

函数类型	表达式	导函数
幂函数	$f(x)=x^alpha$	$f'(x)=alpha x^alpha-1$
指数函数	$f(x)=a^x$	$f'(x)=a^x ln a$
对数函数	$f(x)=log_a x$	$f'(x)=frac1x ln a$
三角函数	$f(x)=sin x$	$f'(x)=cos x$
反三角函数	$f(x)=arctan x$	$f'(x)=frac11+x^2$

二、四则运算导数规则

函数的和差积商运算遵循严格的导数分配律：

• 加法规则：$(upm v)'=u'pm v'$
• 乘法规则：$(uv)'=u'v+uv'$（莱布尼茨公式）
• 除法规则：$left(fracuvright)'=fracu'v-uv'v^2$（商法则）
• 幂指函数：$(u^v)'=u^v(v'ln u+fracvu'u)$

其中除法规则可视为乘法规则的特例，当$v$替换为$1/v$时即转化为标准商式。幂指函数求导需结合对数恒等式转换，体现复合函数与指数函数的综合应用。

三、复合函数链式法则

设$y=f(u)$，$u=g(x)$，则复合函数导数为：

$$fracdydx=fracdyducdotfracdudx$$

复合层级	表达式	导数展开式
双层复合	$f(g(x))$	$f'(g(x))g'(x)$
三层复合	$f(g(h(x)))$	$f'(g(h(x)))g'(h(x))h'(x)$
抽象函数	$y=f(u(x))$	$fracdydx=f'(u)u'$

链式法则的本质是将多变量传递过程分解为单变量导数的连乘积，其几何意义对应雅可比矩阵的行列式乘积。对于抽象函数求导，需严格区分中间变量与自变量的层次关系。

四、反函数求导特性

若$y=f(x)$存在反函数$x=g(y)$，则：

$$g'(y)=frac1f'(x)bigg|_x=g(y)$$

原函数	反函数	导数关系
$y=sin x$	$y=arcsin x$	$fracddxarcsin x=frac1sqrt1-x^2$
$y=e^x$	$y=ln x$	$fracddxln x=frac1x$
$y=x^3$	$y=sqrt[3]x$	$fracddxsqrt[3]x=frac13x^-2/3$

反函数求导需满足原函数在定义域内严格单调且可导，其几何解释为互为倒数的切线斜率。该性质在求解超越方程反函数时具有重要价值。

五、高阶导数计算范式

$n$阶导数定义为一阶导数的$n-1$次迭代，常用公式包括：

• 幂函数：$fracd^ndx^nx^k=frack!(k-n)!x^k-n$（$kgeq n$）
• 指数函数：$fracd^ndx^ne^ax=a^ne^ax$
• 正弦函数：$fracd^ndx^nsin x=sinleft(x+fracnpi2right)$
• 莱布尼茨公式：$(uv)^(n)=sum_k=0^n C_n^k u^(k)v^(n-k)$

函数类型	二阶导数	三阶导数
$e^-x^2$	$(4x^2-2)e^-x^2$	$(-12x+8x^3)e^-x^2$
$xcos x$	$-2sin x -xcos x$	$-3cos x +xsin x$

高阶导数计算常结合递推法或数学归纳法，莱布尼茨公式将乘积的高阶导数转化为组合求和，显著降低计算复杂度。

六、参数方程求导方法

对于参数方程$begincasesx=varphi(t)\ y=psi(t)endcases$，导数关系为：

$$fracdydx=fracpsi'(t)varphi'(t),quadfracd^2ydx^2=fracpsi''(t)varphi'(t)-psi'(t)varphi''(t)[varphi'(t)]^3$$

参数方程	一阶导数	二阶导数
$begincasesx=t^2\ y=t^3endcases$	$frac3t^22t=frac3t2$	$frac6tcdot2t-3t^2cdot2(2t)^3=frac6t8t^3$
$begincasesx=cos t\ y=sin tendcases$	$fraccos t-sin t=-cot t$	$frac-sin t(-sin t)-cos t(-cos t)(-sin t)^3=frac1sin^3 t$

参数方程求导需注意消去参数后的可微性，二阶导数计算涉及复合导数与商法则的嵌套使用。

七、隐函数求导技巧

对于方程$F(x,y)=0$确定的隐函数$y=f(x)$，导数计算遵循：

$$fracdydx=-fracF_xF_y,quadfracd^2ydx^2=-fracF_xxF_y^2-2F_xF_yF_xy+F_x^2F_yyF_y^3$$

隐函数方程	一阶导数	二阶导数特征
$x^2+y^2=r^2$	$fracdydx=-fracxy$	含$y^-3$项，显式表达需代入原方程
$xy+e^y=1$	$fracdydx=-fracyx+e^y$	分母含$y$的显式表达式，需迭代求解

隐函数求导的关键在于构造偏导数比值，高阶导数计算需反复应用链式法则，最终表达式常保留隐式结构。

八、特殊函数求导策略

绝对值函数：$|x|'=textsgn(x)$，在$x=0$处不可导

$$f(x)=begincasesx^2sinfrac1x&x
eq0\0&x=0endcases$$

在$x=0$处右导数为$lim_hto0^+frach^2sin(1/h)h=0$，左导数同理，故$f'(0)=0$。

特殊函数求导需结合极限定义与单侧导数分析，特别注意不可导点的分类讨论。

导函数公式体系通过分层递进的规则构建起完整的微分运算框架。从基础函数到复合结构，从显式表达到隐式关系，各类公式既独立成章又相互关联。实际应用中需注意公式的适用条件与限制范围，如反函数求导要求原函数单调可逆，隐函数定理依赖偏导数连续性等。掌握这些公式不仅需要记忆训练，更需培养函数结构分析能力与数学建模思维。随着多元微积分的发展，这些基础公式将进一步延伸至梯度、散度等向量微分算子，形成更广阔的分析工具集。