导函数公式汇总(导数公式集)

导函数作为微积分学的核心工具，其公式体系构建了函数动态变化规律的数学语言。从基础幂函数到复杂复合函数，从显式表达式到隐式方程，导函数公式的演进体现了数学思维从直观到抽象的跨越。本文系统梳理八类核心导函数公式，通过横向对比与深度解析，揭示其内在逻辑与应用场景的差异性。

一、基础函数导数公式体系

基础函数导数是导函数理论的基石，包含常数函数、幂函数、指数函数、对数函数及三角函数五大类别。

函数类型	表达式	导函数公式
常数函数	f(x)=C	f'(x)=0
幂函数	f(x)=x^n	f'(x)=n x^n-1
指数函数	f(x)=a^x	f'(x)=a^x ln(a)
对数函数	f(x)=ln(x)	f'(x)=1/x
三角函数	f(x)=sin(x)	f'(x)=cos(x)

二、四则运算导数法则

函数四则运算的导数遵循特定组合规则，其本质是通过极限运算的线性性质推导而来。

运算类型	表达式	导函数公式
加法	f(x)=u(x)+v(x)	f'(x)=u'(x)+v'(x)
减法	f(x)=u(x)-v(x)	f'(x)=u'(x)-v'(x)
乘法	f(x)=u(x)v(x)	f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
除法	f(x)=u(x)/v(x)	f'(x)=[u'(x)v(x)-u(x)v'(x)]/[v(x)]²

三、复合函数链式求导法则

复合函数求导需应用链式法则，其核心思想是将外层函数与内层函数的导数逐层相乘。

函数结构	表达式	导函数公式
双层复合	f(x)=g(h(x))	f'(x)=g'(h(x))·h'(x)
三层复合	f(x)=k(g(h(x)))	f'(x)=k'(g)·g'(h)·h'(x)

四、反函数导数特性

反函数导数与原函数导数呈倒数关系，该特性在求解逆映射问题时具有重要价值。

函数关系	表达式	导函数公式
显式反函数	y=f⁻¹(x)	dy/dx=1/f'(y)
隐式反函数	F(x,y)=0	dy/dx=-F_x/F_y

五、隐函数求导方法

隐函数求导需构建偏导数方程组，通过联立方程解算导数表达式。

方程类型	表达式	求导方法
二元显式	y=√(1-x²)	直接求导法
多元隐式	x³+y³=3axy	偏导联立法

六、高阶导数计算规律

高阶导数呈现周期性变化特征，莱布尼茨公式为通用计算工具。

函数类型	一阶导数	二阶导数	n阶导数通式
正弦函数	cos(x)	-sin(x)	(-1)^n sin(x+nπ/2)
指数函数	e^x	e^x	e^x
多项式函数	逐项降次	持续降次	最终趋零

七、参数方程求导法

参数方程导数需通过中间变量转换，体现多变量链式法则的应用。

参数形式	表达式	导函数公式
平面曲线	x=φ(t), y=ψ(t)	dy/dx=ψ'(t)/φ'(t)
空间曲线	r(t)=(x(t),y(t),z(t))	dr/dt=(x',y',z')

八、对数求导特殊技巧

对数求导法通过取自然对数简化运算，特别适用于幂指函数和连乘积函数。

函数类型	处理方式	导函数公式
幂指函数	ln(y)=ln(u^v)	y'=y(u'/u+v'/v)
连乘积函数	ln(y)=∑ln(f_i)	y'=y∑(f_i')/f_i