多元函数偏导例题(多变量偏导习题)
作者：路由通
|
389人看过
发布时间：2025-05-02 04:38:09
标签：
多元函数偏导数是多元微积分的核心概念之一，其本质是通过限制其他变量固定、仅考察单一变量变化率的方式，将多元问题转化为一元问题进行研究。在实际应用中，偏导数不仅用于描述物理场的梯度（如温度场、电场强度），更是优化理论、机器学习算法（如梯度下降
多元函数偏导数是多元微积分的核心概念之一，其本质是通过限制其他变量固定、仅考察单一变量变化率的方式，将多元问题转化为一元问题进行研究。在实际应用中，偏导数不仅用于描述物理场的梯度（如温度场、电场强度），更是优化理论、机器学习算法（如梯度下降法）和经济学边际效应分析的数学基础。通过典型例题的解析，可深入理解偏导数的定义差异性（如极限存在性与连续性无关）、计算方法的多样性（显式/隐式函数求导）以及高阶偏导数的对称性条件（Clairaut定理）。本文通过8个维度系统剖析多元函数偏导数例题，结合表格对比不同场景下的计算特征，揭示其数学本质与应用边界。
一、偏导数定义与计算方法
偏导数定义为固定其他变量后对某变量的瞬时变化率，数学表达式为：
$$fracpartial fpartial x=lim_Delta xto 0fracf(x+Delta x,y)-f(x,y)Delta x$$计算时需注意：- 符号∂与d的区别：∂表示偏导，d表示全微分
- 复合函数需明确变量依赖关系（如z=f(x,y),x=g(t)）
- 分段函数需验证偏导数存在域的连续性
| 例题类型 | 函数形式 | 计算步骤 | 关键难点 |
|---|---|---|---|
| 基本偏导数 | $z=x^2y+sin(xy)$ | 1. 固定y对x求导得$2xy+ycos(xy)$ 2. 固定x对y求导得$x^2+xcos(xy)$ | 交叉项求导需应用乘法法则 |
| 复合函数偏导 | $u=ln(x^2+y^2+z^2)$ | 1. 设中间变量$r=x^2+y^2+z^2$ 2. $fracpartial upartial x=frac2xr$ | 中间变量选择影响计算复杂度 |
| 隐函数求导 | $x^2+y^2+z^2=3xyz$ | 1. 方程两边对x求导 2. 解出$fracpartial zpartial x=frac3yz-2x3xy-2z$ | 需联立方程消去多变量 |
二、几何意义与可视化分析
偏导数$fracpartial fpartial x$表示函数$z=f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处沿x轴方向的切线斜率。通过三维曲面与平行于坐标平面的平面相交，可观察到：
- 固定y时，曲线$z=f(x,y_0)$的切线斜率即$fracpartial fpartial x$
- 方向导数与偏导数的关系：当方向向量为单位向量$(1,0)$时，方向导数等于偏导数
- 等值线密度反映偏导数绝对值大小（如$fracpartial fpartial x$大则等高线密集）
| 函数 | $fracpartial fpartial x$几何特征 | $fracpartial fpartial y$几何特征 |
|---|---|---|
| $z=x^2+y^2$ | 抛物柱面与xz平面交线斜率随x增大而增大 | 抛物柱面与yz平面交线斜率随y增大而增大 |
| $z=sin(xy)$ | 波浪形切线，斜率周期性变化 | 波浪形切线，相位与x相关 |
| $z=e^x+y$ | 指数增长型切线，斜率恒正 | 指数增长型切线，斜率恒正 |
三、高阶偏导数与Clairaut定理
二阶偏导数$fracpartial^2 fpartial x^2$表示偏导函数的再次偏导，混合偏导$fracpartial^2 fpartial xpartial y$需满足连续性条件方可交换求导顺序。Clairaut定理指出：若二阶混合偏导数连续，则$fracpartial^2 fpartial xpartial y=fracpartial^2 fpartial ypartial x$。
| 函数 | $fracpartial^2 fpartial x^2$ | $fracpartial^2 fpartial y^2$ | $fracpartial^2 fpartial xpartial y$ |
|---|---|---|---|
| $z=x^3y^2$ | $6xy^2$ | $2x^3$ | $6x^2y$ |
| $z=e^x+y$ | $e^x+y$ | $e^x+y$ | $e^x+y$ |
| $z=ln(x+y)$ | $-frac1(x+y)^2$ | $-frac1(x+y)^2$ | $-frac1(x+y)^2$ |
四、链式法则与变量替换
多元复合函数求导遵循"分支路径相加"原则。设$z=f(x,y)$，其中$x=g(s,t)$，$y=h(s,t)$，则全导数为：
$$fracpartial zpartial s=fracpartial fpartial xfracpartial gpartial s+fracpartial fpartial yfracpartial hpartial s$$典型错误包括：漏算路径、混淆中间变量与自变量。例如：- 例题：$u=e^xyz$，其中$x=s+t$，$y=st$，$z=s-t$
- 正确解法：$fracpartial upartial s=e^xyz(yz+xz+xy)$
- 常见错误：未考虑$x,y,z$均依赖$s$导致漏项
五、隐函数定理的应用扩展
由方程$F(x,y,z)=0$确定的隐函数$z=z(x,y)$，其偏导数公式为：
$$fracpartial zpartial x=-fracF_xF_z,quad fracpartial zpartial y=-fracF_yF_z$$应用时需注意：- 条件：$F_z
eq 0$且$F$具有连续偏导数 - 多变量情形需构造雅可比矩阵（如$F(x,y,u,v)=0$）
- 经济模型中常用于求解需求函数对价格的偏弹性
| 方程 | $fracpartial zpartial x$ | $fracpartial zpartial y$ |
|---|---|---|
| $x^2+y^2+z^2=2az$ | $fracxz-a$ | $fracyz-a$ |
| $e^z=xyz$ | $fracyzxy-e^z$ | $fracxzxy-e^z$ |
| $sin(xz)+ln(yz)=0$ | $-fraccos(xz)cdot zxcos(xz)+1/y$ | $-frac1/zxcos(xz)+1/y$ |
六、方向导数与梯度向量
方向导数定义为函数沿单位向量$mathbfu=(a,b)$的变化率：
$$D_mathbfuf=lim_tto 0fracf(mathbfx+tmathbfu)-f(mathbfx)t=grad,fcdotmathbfu$$其中梯度向量$grad,f=left(fracpartial fpartial x,fracpartial fpartial yright)$。关键包括：- 方向导数最大值为梯度模长，方向沿梯度方向
- 梯度方向与等值线垂直，指向函数增长最快方向
- 保守场中梯度构成无旋向量场（$
ablatimes grad,f=0$）
| 函数 | 梯度向量 | 沿$mathbfu=(1,1)$方向导数 |
|---|---|---|
| $f(x,y)=x^2+3y^2$ | $(2x,6y)$ | $frac2x+6ysqrt2$ |
| $f(x,y)=arctan(y/x)$ | $left(-fracyx^2+y^2,fracxx^2+y^2right)$ | $frac-y+x(x^2+y^2)^3/2cdotsqrt2$ |
| $f(x,y,z)=sqrtx^2+y^2+z^2$ | $left(fracxr,fracyr,fraczrright)$（$r=sqrtx^2+y^2+z^2$） | $fracx+y+zr^2cdotsqrt3$ |
七、极值判定与条件极值
二元函数极值必要条件为一阶偏导数为零，充分条件由二阶Hessian矩阵判别：
$$H=beginpmatrixf_xx & f_xy \
f_yx & f_yy
endpmatrix$$当$det(H)>0$且$f_xx>0$时为极小值。对于含约束条件的极值问题，需采用拉格朗日乘数法，构造函数：$$L(x,y,lambda)=f(x,y)+lambda(g(x,y)-c)$$求解方程组$
abla L=0$。典型例题对比如下：
| 目标函数 | 约束条件 | 临界点 | 极值类型 |
|---|---|---|---|
| $f(x,y)=xy$ | 无约束 | (0,0) | 鞍点（$H$矩阵不定） |
| $f(x,y)=x^2+4y^2$ | 无约束 | (0,0) | 极小值（$H$正定） |
| $f(x,y)=x+y$ | $x^2+y^2=1$ | (√2/2,√2/2) | 最大值（拉格朗日乘数λ=1/√2） |
| $f(x,y)=xy$ | $x+y=1$ | (1/2,1/2) | 极大值（λ=-1） |
八、数值计算与误差分析
实际计算中常用差分近似偏导数：
$$fracpartial fpartial xapproxfracf(x+Delta x,y)-f(x,y)Delta x$$
误差来源包括：
- 截断误差：忽略高阶无穷小量（与$(Delta x)^2$相关）
- 舍入误差：计算机浮点运算精度限制
- 步长选择：$Delta x$过大增大截断误差，过小加剧舍入误差
| 函数 | 理论偏导 | $Delta x=10^-4$近似值 | 相对误差 |
|---|---|---|---|
| $f(x,y)=e^xy$ at (1,2) | $2e^2=14.778$ | 14.77814（前向差分） | 0.00009% |
| $f(x,y)=ln(x^2+y^2)$ at (3,4) | $frac325=0.12$ | 0.12000（中心差分） | 0.08% |
| $f(x,y)=sin(x)cos(y)$ at (π/4,π/6) | $fracsqrt22cdotfracsqrt34approx0.306$ | 0.30618（五点差分） | 0.06% |
