三角函数的全部公式(三角函数公式大全)

三角函数作为数学中连接几何与代数的核心工具，其公式体系贯穿了从基础运算到高等数学的多个领域。自古希腊时期用于天文学研究，到现代工程学、物理学中的波动分析与信号处理，三角函数始终扮演着不可替代的角色。其公式网络以单位圆定义为根基，通过角度变换、函数组合与代数变形，衍生出诱导公式、和差化积、幂级数展开等复杂形态。掌握这些公式不仅需要理解几何意义，还需熟练运用代数推导技巧，例如通过欧拉公式将三角函数与复数关联，或借助泰勒展开式实现函数逼近。本文将从定义、变换、恒等式、定理、反函数、图像特性、幂运算及复合函数八个维度系统梳理三角函数公式体系，并通过对比表格揭示其内在关联性。

一、三角函数的基本定义与核心关系

三角函数体系以单位圆定义为基础，通过直角三角形比例关系延伸至任意角。核心函数包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、余切（cot）、正割（sec）、余割（csc），其中前三者为独立函数，后三者为其倒数形式。

函数名称	定义式	定义域	值域
正弦函数	$sintheta = fracyr$	全体实数	$[-1,1]$
余弦函数	$costheta = fracxr$	全体实数	$[-1,1]$
正切函数	$tantheta = fracyx$	$theta eq fracpi2+kpi$	全体实数

二、诱导公式与角度变换规则

诱导公式通过角度周期性与对称性简化计算，遵循"奇变偶不变，符号看象限"原则。核心公式包括：

$$
beginaligned
sin(pipmalpha) &= mpsinalpha \
cos(pipmalpha) &= -cosalpha \
tanleft(fracpi2pmalpharight) &= mpcotalpha
endaligned
$$

变换类型	正弦变换	余弦变换	正切变换
$alpha+2kpi$	不变	不变	不变
$-alpha$	$sinalpha$	$cosalpha$	$-tanalpha$
$pipmalpha$	$-sinalpha$	$-cosalpha$	$tanalpha$

三、和差角公式与倍角公式

两角和差公式是三角函数运算的核心，其扩展形式包括：

$$
beginaligned
sin(alphapmbeta) &= sinalphacosbeta pm cosalphasinbeta \
cos(alphapmbeta) &= cosalphacosbeta mp sinalphasinbeta \
tan(alphapmbeta) &= fractanalphapmtanbeta1mptanalphatanbeta
endaligned
$$

当$beta=alpha$时得到倍角公式：

$$
beginaligned
sin2alpha &= 2sinalphacosalpha \
cos2alpha &= cos^2alpha - sin^2alpha \
tan2alpha &= frac2tanalpha1-tan^2alpha
endaligned
$$

四、半角公式与幂运算转换

半角公式通过余弦定理推导，需注意符号选择：

$$
beginaligned
sinfractheta2 &= pmsqrtfrac1-costheta2 \
cosfractheta2 &= pmsqrtfrac1+costheta2 \
tanfractheta2 &= frac1-costhetasintheta = fracsintheta1+costheta
endaligned
$$

幂运算转换公式用于消除高次项：

$$
beginaligned
sin^2alpha &= frac1-cos2alpha2 \
cos^2alpha &= frac1+cos2alpha2 \
sin^3alpha &= frac3sinalpha-sin3alpha4
endaligned
$$

五、和差化积与积化和差公式

该组公式实现加减运算与乘积形式的相互转换：

转换方向	正弦型	余弦型
和差化积	$sinalpha+sinbeta=2sinfracalpha+beta2cosfracalpha-beta2$	$cosalpha+cosbeta=2cosfracalpha+beta2cosfracalpha-beta2$
积化和差	$sinalphasinbeta=frac12[cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)]$	$cosalphacosbeta=frac12[cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)]$

六、正弦定理与余弦定理

解三角形的核心定理：

$$
beginaligned
text正弦定理 &: fracasin A = fracbsin B = fraccsin C = 2R \
text余弦定理 &: c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C
endaligned
$$

其中$R$为三角形外接圆半径，适用于任意三角形求解边角关系。

七、反三角函数与复合运算

反三角函数定义域与值域对应关系：

函数	定义域	值域
$arcsin x$	$[-1,1]$	$[-fracpi2,fracpi2]$
$arccos x$	$[-1,1]$	$[0,pi]$
$arctan x$	全体实数	$(-fracpi2,fracpi2)$

复合运算需注意角度范围限制，例如：

$$
sin(arcsin x) = x quad (x in [-1,1])
$$

八、三角函数的图像特性与周期性

基本函数周期特性：

函数	周期	对称轴/中心
$sin x$	$2pi$	关于原点对称
$cos x$	$2pi$	关于$y$轴对称
$tan x$	$pi$	关于原点对称

图像变换规律：$y=Asin(Bx+C)+D$中，振幅为$|A|$，周期为$frac2pi|B|$，相位位移为$-fracCB$，纵向平移为$D$。

三角函数公式体系通过定义延伸、角度变换、代数运算三个维度构建，各公式间存在深层逻辑关联。例如和差角公式可视为倍角公式的逆运算，而积化和差公式本质上是向量内积的三角表达。掌握公式推导过程比机械记忆更重要，例如利用欧拉公式$e^itheta=costheta+isintheta$可统一推导所有和差公式。实际应用中需注意公式适用条件，如半角公式的符号选择取决于原角所在象限，反三角函数的主值区间限制等。通过建立公式网络图示（如图1所示），可直观展现各公式的派生关系与应用场景。