系统函数的模(系统函数幅值)
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系统函数的模是线性时不变系统分析中的核心参数，其物理意义与系统对不同频率信号的幅值响应特性直接相关。作为传递函数H(s)在复频域中的幅值表征，模值不仅反映了系统对输入信号的能量传递效率，更是判断系统稳定性、频率选择性及滤波特性的重要依据。在频域分析中，系统函数的模对应着幅频特性曲线的包络，其峰值、带宽和谐振现象均与模的极值分布密切相关。通过分析模的几何分布规律，可直观揭示极点与零点对系统幅频特性的调控机制，进而为控制器设计、滤波器优化提供理论支撑。值得注意的是，模的数学定义虽简洁，但其在s平面与z平面的映射关系、参数灵敏度以及多平台实现差异等问题，均需结合具体应用场景深入探讨。
定义与物理意义
系统函数的模定义为传递函数H(s)在复频域中的幅值绝对值，即|H(s)|。对于连续系统，当s=jω时，模值对应幅频特性|H(jω)|；对于离散系统，则对应z=ejωT处的模。该参数的物理意义体现在三个方面：
- 反映系统对特定频率信号的放大/衰减能力，模值越大表示对该频率成分的敏感度越高
- 决定输入输出信号的能量传递比例，模平方等于功率传递系数
- 在极坐标系中，模与相位共同构成传递函数的极坐标表示，完整描述系统频响特性
| 参数类型 | 连续系统 | 离散系统 |
|---|---|---|
| 复频率变量 | s=σ+jω | z=rejθ |
| 模表达式 | |H(jω)| | |H(ejωT)| |
| 能量传递 | 模平方表示功率增益 | 模平方表示数字功率增益 |
极零点分布对模的影响
系统函数的极点与零点在s/z平面的几何位置直接影响模值的空间分布特征。通过伯德定理可知，极点对应模的峰值凸起，零点则产生凹陷。具体影响规律如下表所示：
| 几何特征 | 连续系统影响 | 离散系统影响 |
|---|---|---|
| 极点靠近虚轴 | 对应频率处出现谐振峰，模值显著增大 | z平面极点接近单位圆时模峰值升高 |
| 零点靠近虚轴 | 对应频率信号被抑制，模值形成谷值 | z平面零点接近单位圆时抑制效果增强 |
| 极零点间距 | 间距越小，模值变化率越大 | z平面极零点角距离影响数字滤波器衰减斜率 |
以二阶系统为例，当极点位于s=-ζωn ± jωn√(1-ζ²)时，模的峰值为1/(2ζ√(1-ζ²))，该值随阻尼比ζ减小而急剧增大，印证了极点接近虚轴时的谐振效应。
频域特性与模的关系
系统函数的模在频域呈现为典型的幅频响应曲线，其特征参数包括：
- 截止频率：模值下降至最大值的-3dB处对应的频率
- 带宽：模值保持在一定阈值以上的频率范围
- 滚降率：模值随频率变化的衰减斜率（dB/decade）
| 滤波器类型 | 模拟系统模特性 | 数字系统模特性 |
|---|---|---|
| 低通滤波器 | 模值随频率增加单调递减 | 模值在折叠频率前保持单调性 |
| 带通滤波器 | 存在中心频率模峰值 | 模峰值受数字频谱混叠影响 |
| 全通系统 | 模值恒为1，相位特性主导 | 模值保持恒定但存在非线性相位 |
实际测量中，伯德图的幅频曲线可直接反映系统函数的模特性。例如，在ω=ωc处模值为1/√2时，对应的-3dB截止频率是衡量滤波器性能的关键指标。
系统函数的模与稳定性存在内在关联，主要体现在以下方面：
| 稳定性指标 | 连续系统条件 | 离散系统条件 |
|---|---|---|
| 极点要求 | 所有极点位于左半平面 | 所有极点位于单位圆内 |
| limω→∞|H(jω)|=0 | limω→π/T|H(ejωT)|=0 | |
| 通过|H(jω)|=1时相位判断 | 通过|H(ejωT)|=1时相位判断 |
特别需要注意的是，某些边际稳定系统（如积分环节）虽然极点位于虚轴，但其模值在特定频率可能趋于无穷大，此时需结合李雅普诺夫方法进行稳定性分析。
系统函数模值对参数变化的敏感程度直接影响系统鲁棒性。灵敏度的定义式为：
$$ S_k^M = fracpartial |H(s)|/|H(s)|partial k/k $$工程实践中常采用极点-零点-增益（PZG）分离设计法，通过独立调节各参数实现预期的模值特性。例如，在PID控制器设计中，积分环节的极点位置直接影响低频段模值的提升速度。
连续系统与离散系统在实现相同模特性时存在本质差异，主要体现为：
例如，模拟巴特沃斯滤波器的s域极点均匀分布在左半平面圆周上，而数字实现时需通过双线性变换将极点映射到z平面，这会引入频率畸变，导致实际模值特性与设计指标产生偏差。
系统函数模值的测量需注意以下技术要点：
实际工程中常采用三点校准法：选择低频、中频、高频三个特征点进行模值标定，通过插值算法重构完整幅频曲线。对于宽带系统，还需考虑测试信号的信噪比对测量精度的影响。
不同应用场景对系统函数模特性的要求存在显著差异：
