函数最值的求法与例题(函数最值解法实例)

函数最值问题是数学分析中的核心内容，涉及极值理论、连续性、可导性及不等式应用等多个领域。其求解方法需结合函数类型、定义域特征及实际应用场景进行综合判断。常见求解路径包括导数法（临界点分析）、闭区间连续函数性质、二次函数顶点公式、基本不等式转化等。不同方法在适用性、计算复杂度及结果可靠性方面存在显著差异，例如导数法适用于可导函数但需验证极值性质，而基本不等式法则依赖结构变形且需满足等号条件。实际问题中还需考虑约束条件的影响，如含参数函数需分类讨论参数范围，分段函数需逐段分析再综合比较。以下从八个维度系统阐述函数最值的求解策略，并通过典型例题揭示各方法的应用要点。

一、基于导数的临界点分析法

通过求导确定函数极值点，结合定义域端点比较函数值。适用于可导函数，需注意极值点与最值的区别。

方法特征	核心步骤	适用函数类型
依赖一阶/二阶导数	求导→解方程f'(x)=0→验证极值→比较端点	连续可导函数

例题1：求f(x)=x³-3x²-9x+5在[-2,4]的最值。

解：f'(x)=3x²-6x-9=0 → x=-1或3。计算f(-2)= -17，f(-1)=10，f(3)= -22，f(4)= -15。故最大值为10，最小值为-22。

二、闭区间连续函数端点比较法

根据闭区间上连续函数必达最值定理，直接计算端点及临界点函数值。适用于定义域为闭区间的连续函数。

关键操作	优势	局限性
端点与临界点全计算	无需复杂变形	需明确定义域

例题2：f(x)=2x³-15x²+36x+1在[0,5]的最值。

解：f'(x)=6x²-30x+36=0 → x=2或3。计算f(0)=1，f(2)=29，f(3)=28，f(5)=11。最大值为29，最小值为1。

三、二次函数顶点公式法

利用y=ax²+bx+c的顶点坐标(-b/(2a), f(-b/(2a)))直接求解。适用于二次函数或可化为二次型的情况。

判别依据	开口方向	最值位置
Δ=b²-4ac	a>0时开口向上	顶点处取最小值

例题3：求f(x)=-x²+4x-3的最值。

解：a=-1<0，顶点x=2，f(2)=1。故最大值为1，无最小值（定义域为全体实数时）。

四、基本不等式转化法

通过配凑或分离变量，将函数转化为可用均值不等式（如a+b≥2√ab）的形式。适用于正数变量或可分解为积/和的结构。

常用不等式	适用条件	等号成立条件
a+b≥2√ab	a,b>0	a=b

例题4：求y=x+4/x (x>0)的最小值。

解：由x>0，y=x+4/x ≥2√(x·4/x)=4，当x=4/x即x=2时取等，最小值为4。

五、三角函数有界性法

利用sinθ、cosθ的取值范围[-1,1]，结合辅助角公式或平方关系转化。适用于含三角函数表达式的最值问题。

核心工具	典型形式	最值范围
辅助角公式	A·sinθ+B·cosθ	±√(A²+B²)

例题5：求y=3sinx+4cosx的最大值。

解：幅值√(3²+4²)=5，故最大值为5，当sinx=3/5且cosx=4/5时取得。

六、参数分离与分类讨论法

对含参数函数，通过分离参数讨论不同取值范围下的最值情况。适用于定义域含参数或函数形式随参数变化的题型。

讨论依据	分析维度	典型案例
参数符号/范围	开口方向、单调性	含参二次函数

例题6：求f(x)=ax²+2x+1在[-1,1]的最小值（a∈R）。

解：分a=0（线性函数）、a>0（开口向上）、a<0（开口向下）三类讨论，结合顶点位置与区间关系确定最小值。

七、分段函数逐段分析法

对定义域分段的函数，分别求解各段最值后综合比较。需注意分段点的连续性及各段函数特性。

处理要点	比较方式	典型错误
逐段求极值	全局比较各段结果	忽略分段点比较

例题7：求f(x)=x², x≤0; -x+2, x>0的最值。

解：当x≤0时，f(x)在x=0处取最小值0；当x>0时，f(x)在x→+∞时趋近-∞。故无最小值，最大值为f(0)=0。

八、实际问题的约束优化法

结合问题背景建立目标函数，通过消元或拉格朗日乘数法处理约束条件。常用于几何、经济等领域的最优化问题。

约束类型	处理方法	应用场景
等式约束	代入消元	周长固定矩形面积最大化

例题8：用长为L的篱笆围矩形场地，如何设计边长使面积最大？

解：设长x，宽(L-2x)/2，面积S=x·(L-2x)/2 = -x² + Lx/2。由顶点公式得x=L/4时，S最大值为L²/16。

通过上述方法对比可知，导数法普适性强但计算复杂，不等式法简洁但依赖结构特征，闭区间端点法直观但受限于定义域。实际应用中需综合函数性质与问题条件选择最优路径，例如含参函数需优先讨论参数影响，三角函数问题应优先考虑周期性与有界性。掌握多种方法的交叉验证能力，可显著提升最值求解的准确性与效率。