高考各函数图像(高考函数图解)

函数图像是高考数学中的核心考点之一，其综合应用能力直接关联解析几何、导数、不等式等多个知识模块。高考命题常通过函数图像考查学生对函数性质的理解深度、数形结合能力及逻辑推理能力。从近年真题趋势看，函数图像的考查呈现“基础定型+动态拓展”的特点：一方面，指数函数、对数函数、幂函数等基础图像仍是必考内容，重点考查平移、伸缩、对称等变换规律；另一方面，复合函数、分段函数、抽象函数等动态图像的分析占比提升，强调通过导数、极限、特殊点等工具进行多维度推导。考生需掌握“定点-定性-定形”的三步分析法，结合定义域、奇偶性、周期性等核心性质，构建函数图像的完整认知体系。

一、定义域与值域的图像映射关系

函数图像的存在范围由定义域和值域共同决定。例如，平方根函数y=√x的定义域[0,+∞)直接限制图像仅存在于右半平面，而值域[0,+∞)则约束图像纵坐标非负。

函数类型	定义域	值域	图像特征
一次函数y=kx+b	R	R	直线延伸至四个象限
二次函数y=ax²+bx+c	R	a>0时[y_min,+∞)
指数函数y=a^x(a>0,a≠1)	R	a>1时(0,+∞)	渐近线y=0，过定点(0,1)

二、单调性的图像表征

函数增减性通过图像斜率直观体现。例如，对数函数y=lnx在(0,1)区间单调递减，图像向下凹陷；在(1,+∞)区间单调递增，曲线上升趋缓。

函数类型	单调递增区间	单调递减区间	极值点
正比例函数y=kx(k>0)	R	无	无
幂函数y=x³	R	无	拐点(0,0)
三角函数y=sinx	[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]	[π/2+2kπ,3π/2+2kπ]	波峰波谷交替

三、奇偶性的对称特征

奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。例如，y=x²为偶函数，图像关于y轴镜像对称；y=x³为奇函数，图像关于原点中心对称。

函数类型	奇偶性	对称轴/中心	典型图像
y=x^4	偶函数	y轴	U型开口向上
y=x^5	奇函数	原点	S型过原点
y=cosx	偶函数	y轴	波浪周期对称

四、周期性的图像重复规律

周期函数图像按固定间隔重复。例如，y=tanx的周期为π，图像在每个周期内从负无穷骤升至正无穷，形成垂直渐近线。

函数类型	周期	图像特征	渐近线方程
y=sinx	2π	波浪起伏	无
y=cotx	π	垂直渐近线x=kπ	x=kπ
y=|tanx|	π	折线状周期	x=π/2+kπ

五、渐近线的图像逼近特性

水平渐近线决定函数在无穷远的趋势，垂直渐近线反映定义域断点。例如，y=1/x的两条渐近线将图像分割为两支双曲线。

函数类型	水平渐近线	垂直渐近线	图像趋势
y=e^x	无	无	右上无限延伸
y=lnx	无	x=0	左贴y轴延伸
y=(x-1)/(x+1)	y=1	x=-1	双曲线趋近于y=1

六、图像变换的合成规则

函数图像变换遵循“先伸缩后平移”原则。例如，y=2sin(x/3+π/4)的图像需先将y=sinx横坐标拉伸3倍，再向左平移3π/4个单位，最后纵坐标拉伸2倍。

原函数	变换步骤	参数对应	最终图像特征
y=f(x)→y=af(bx+c)+d	1.横坐标缩放1/b 2.平移-c/b 3.纵坐标缩放a 4.平移d	a控制纵向伸缩，b控制横向伸缩，c控制横向平移，d控制纵向平移	保持原函数基本形状，位置参数化调整
y=log_2(x-1)	1.右移1个单位	底数2影响增长速率	对数曲线向右平移1个单位
y=√(x+2)-3	1.左移2个单位 2.下移3个单位	根号内线性变换	半抛物线顶点移至(-2,-3)

七、特殊点的坐标定位

关键点包括与坐标轴交点、极值点、拐点等。例如，三次函数y=x³-3x²+2的图像必过点(1,0)、(2,0)，且在x=0处取得极大值。

函数类型	必过点坐标	极值点坐标	拐点坐标
幂函数y=x^(1/3)	(0,0),(1,1),(-1,-1)	无极值点	(0,0)
指数函数y=3^x	(0,1)	无	无
对数函数y=log_3(x+2)	(-1,0),(1,1)	无	无

八、复合函数的图像分解策略

处理复合函数需分层解析。例如，y=sin(√x)可拆解为：先绘制y=√x的抛物线段，再将其作为y=sin(u)的自变量u，最终图像呈现振幅衰减的正弦波动。

复合函数	分解步骤	中间变量图像	最终图像特征
y=e^(sinx)	1.绘制y=sinx 2.作为指数函数底数	正弦曲线y=sinx	周期性振荡，值域[e^-1,e^1]
y=ln(x²+1)	1.绘制u=x²+1 2.绘制y=lnu	抛物线u=x²+1	关于y轴对称，最低点(0,0)
y=arcsin(2x)	1.定义域压缩至[-1/2,1/2] 2.反函数变换	压缩后的线性函数u=2x	S型曲线横向压缩两倍

函数图像分析能力的培养需经历“识图-画图-用图”的递进过程。考生应建立函数性质与图像特征的双向映射机制，通过极限值分析、特殊点计算、导数符号判断等方法构建精准图像。建议将抽象函数具象化为已知模型，例如将含绝对值的函数拆分为分段函数，将复杂幂函数转化为指数运算。日常训练中可借助动态软件观察参数变化对图像的影响，强化数形结合的思维惯性。