系统函数z变换(系统z变换)

作者：路由通

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发布时间：2025-05-04 06:16:32

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系统函数Z变换是数字信号处理与离散时间系统分析的核心工具，其通过复频域映射将差分方程转化为代数表达式，揭示了系统因果性、稳定性及频率响应等本质特性。作为连接时域与复频域的桥梁，Z变换不仅简化了离散系统的数学建模过程，更通过极零点分布、收敛域

系统函数Z变换是数字信号处理与离散时间系统分析的核心工具，其通过复频域映射将差分方程转化为代数表达式，揭示了系统因果性、稳定性及频率响应等本质特性。作为连接时域与复频域的桥梁，Z变换不仅简化了离散系统的数学建模过程，更通过极零点分布、收敛域（ROC）等概念构建了完整的系统分析体系。相较于连续域的拉普拉斯变换，Z变换的离散特性使其天然适用于数字滤波器设计、系统仿真及信号处理算法实现，尤其在多速率转换、稳定性判别等场景中具有不可替代的作用。

系统函数z变换

一、定义与物理意义

系统函数Z变换定义为：对于离散时间系统差分方程 ( y[n] + sum_k=1^N a_k y[n-k] = sum_m=0^M b_m x[n-m] )，其Z变换表达式为 ( H(z) = fracY(z)X(z) = fracsum_m=0^M b_m z^-m1 + sum_k=1^N a_k z^-k )。该式通过多项式比值形式，将系统输入输出关系转化为复平面上的有理函数，其中分子对应系统零点，分母对应系统极点。

核心参数	物理意义	典型特征
分子多项式	系统零点分布	决定幅频特性凹陷位置
分母多项式	系统极点分布	主导时域响应衰减模式
收敛域(ROC)	序列绝对可和区域	与系统因果性/稳定性直接相关

二、收敛域判定规则

收敛域的确定需遵循以下原则：

极点位置边界：ROC边界由最靠近原点的极点决定
因果系统条件：ROC需包含无穷远点（即|z|>max|p_k|）
稳定系统条件：ROC必须包含单位圆（即1<|p_k|对所有极点p_k）

极点分布特征	收敛域范围	系统性质
所有极点在单位圆内	\|z\|>max\|p_k\|	因果且渐近稳定
部分极点在单位圆外	环状区域（非因果/反因果）	非实时处理系统
极点对称分布于单位圆两侧	包含单位圆的环形区域	边际稳定系统

三、极零点分布与系统特性关联

极零点在Z平面上的几何分布直接影响系统性能：

几何特征	时域特性	频域特性
极点靠近单位圆	振荡衰减缓慢	尖锐峰值响应
零点靠近单位圆	波形抵消效应	频谱凹陷形成
极零点对称分布	实序列响应保持	线性相位特性

例如，在数字滤波器设计中，通过调整零点位置可精准抑制特定频率成分，而极点位置控制则用于调节过渡带陡峭程度。当极点接近单位圆时，系统获得更窄的带宽和更高的增益峰值。

四、稳定性判别准则

离散系统BIBO稳定的充要条件为：

所有极点均位于单位圆内（|p_k|<1）
收敛域包含单位圆
脉冲响应满足绝对可和 (sum_n=-infty^infty |h[n]| < infty)

极点位置	收敛域特征	稳定性
全部极点\|p\|<1	\|z\|>max\|p_k\|	因果稳定系统
存在极点\|p\|≥1	不包含单位圆	不稳定系统
极点对称分布\|p\|=1	环状包含单位圆	临界稳定（需结合初值）